A radiciação de números naturais
A radiciação de números naturais é uma importante operação matemática e chegou a hora de aprender ou entender um pouco mais sobre ela.
Introdução
Joaquim e sua esposa Amélia, estão de mudança para um novo apartamento. Eles estão embalando os objetos menores em algumas caixas.
Num determinado momento, Joaquim percebeu que possuía algumas caixas totalmente idênticas. Ele identificou 5 dessas caixas e ao ler o rótulo de cada uma, viu que todas elas continham a seguinte informação:
Capacidade máxima da caixa cúbica é de [math] 3375 \ m ^{3} [/math]
Como queriam terminar tudo com poucas viagens, precisariam organizar as caixas no transporte de modo que conseguissem aproveitar o máximo de espaço. Então viram que só precisavam de um instrumento para medir a altura ou largura dessas caixas mas, descobriram que não tinham um metro ou trena disponível.
Em posse dessa informação, ele indagou o seguinte:
- Joaquim: já que as caixas são cúbicas e não temos uma trena ou metro para medir, seria possível fazer uso de alguma ferramenta matemática para a gente descobrir a aresta de cada uma?
- Amélia: tem sim não lembra? Podemos fazer uso da radiciação.
- Joaquim: poxa que legal!
- Amélia: mas antes vamos lembrar como funciona esta operação.
Vamos então agora dar início aos nossos estudos sobre a radiciação de números naturais. Ao final, vamos descobrir qual a medida das arestas encontradas por Joaquim e Amélia.
Mas o que é a radiciação de números naturais?
Radiciação é a operação matemática inversa à operação potenciação. Em outras palavras, poderíamos dizer que a radiciação "desfaz" o que a potenciação faz.
Seja a potência para r, n e a todos números naturais e também sendo n maior que 1:
[math] r ^{n} = a [/math]
Se calcularmos de modo inverso teremos:
[math] \sqrt [n]{a} = r [/math]
Termos da radiciação
Como pode ser visto acima, os termos desta operação são expostos da seguinte forma:
Os termos da potenciação são chamados: radical, índice, radicando e raiz.
Radical (√) é o nome dado ao símbolo que representa a radiciação.
Índice (n) é o nome dado ao número que se encontra acima do radical. Ele denomina o tipo de raiz que será extraída.
Radicando (a) é o nome dado ao número que se encontra dentro do radical. Dele que será extraído a raiz.
Raiz (r) é o nome dado ao resultado da operação.
Cálculo da raiz exata
Como mencionado, o índice determina o tipo de raiz que estamos procurando.
Assim a leitura da radiciação se dará de acordo com o valor que este apresentar.
Exemplo:
- Se o índice for 2 estaremos procurando uma raiz quadrada.
- Se o índice for 3 estaremos procurando uma raiz cúbica.
- Se o índice for 4, uma raiz quarta.
- Com o índice 5, uma raiz quinta
e assim por diante.
O cálculo passo a passo
Quando estudamos a potenciação aprendemos que ela é a simplificação do produto de fatores iguais, para calcular a radiciação devemos encontrar quais fatores que multiplicados por eles mesmos de acordo com o índice, resultam o valor que se encontra no radicando.
Vamos como primeiro exemplo, encontrar a raiz quadrada de 16.
Devemos raciocinar da seguinte forma: qual número na tabuada que multiplicado por si mesmo resulta dezesseis? Ou ainda, que número elevado ao quadrado dá dezesseis?
Essa é bem fácil! Na tabuada somente o produto de quatro por quatro resulta dezesseis.
Logo, esta é a raiz procurada.
Veja que:
ou
Vamos para um outro exemplo. Encontremos agora a raiz cúbica de 64.
Dessa vez fica difícil encontrar diretamente na tabuada mas, podemos fazer uso do mesmo raciocínio utilizado para encontrar a raiz quadrada. Que número multiplicado por si próprio três vezes resulta 64? Vamos procurar?
ou
Assim a raiz encontrada também é quatro.
Então fica entendido assim, a gente procura o número que multiplicado por ele mesmo tantas vezes o índice, resulta no valor do radicando.
Mas espere um pouco! É isso mesmo? Vamos ter que ficar testando sempre até encontrar a raiz? Como fazemos para encontrar a raiz de números muito grandes? Vamos ter mesmo que multiplicar um número enorme de fatores?
Bem, existem sim ferramentas que facilitam esse tipo de cálculo nesse caso. Voltaremos a falar desse assunto ao estudarmos decomposição de um número natural em fatores primos.
No momento, vamos ficar mesmo testando os produtos.
Propriedades da radiciação
A potenciação de números naturais possui algumas propriedades importantes. Com o uso de tais propriedades, as potenciações podem ser escritas de formas mais simples. São elas:
Multiplicação de radicais com mesmo índice
Quando multiplicamos radicais com índices iguais, mantemos o índice e multiplicamos os radicandos.
Divisão de radicais com mesmo índice
Quando dividimos radicais com índices iguais, mantemos o índice e dividimos os radicandos.
Casos que requerem atenção
Adição e subtração de radicais com mesmo índice
Quando temos adição e subtração com radicais de mesmo índice, não podemos respectivamente adicionar ou subtrair os radicandos.
Devemos calcular primeiro cada radiciação separadamente e só depois somar ou subtrair os resultados encontrados.
Retomando o problema da mudança
Retomando o nosso problema inicial, agora fica fácil encontrar o valor da aresta das caixas cúbicas procurado por Joaquim e Amélia.
Sabe-se que será necessário extrair a raiz cúbica de 3375. Por tentativa, vamos ver o que encontramos.
[math] 15 \cdot 15 \cdot 15 = 15 ^{3} = 3375 [/math]
Então descobrimos a raiz cúbica procurada que equivale ao valor da aresta da caixa.
[math] \sqrt[3] {3375} = 15 [/math]
- Amélia: extraindo a raiz cúbica encontramos o valor de 15 cm para cada aresta.
- Joaquim: Legal Amélia! Agora fica fácil acomodá-las no carro.
Vamos praticar um pouco?
"Matemática é vida."
Anônimo
1- Encontre as raizes:
a) [math] \sqrt {169} [/math]
b) [math] \sqrt [5] {32} [/math]
c) [math] \sqrt [4] {81} [/math]
d) [math] \sqrt [6] {64} [/math]
e) [math] \sqrt [8] {65536} [/math]
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