As propriedades da multiplicação no conjunto [math] \mathbb {N} [/math]

Propriedades da multiplicação

Olá caro estudante! Nesta página vamos aprender sobre as propriedades da multiplicação. Se você já teve contato com os assuntos multiplicação de números naturais e propriedades da adição, não terá muita dificuldade de compreender este conteúdo. Então mãos a obra!

Os questionamentos de Isha

Uma vez em uma sala de aula do 6º ano do ensino fundamental de um colégio particular, a aluna de nome Isha encontrava-se sentada ao fundo.

Sempre atenta e muito determinada, estava ouvindo a professora Madalena falar sobre as propriedades da multiplicação na aula de matemática.

Estudando as propriedades da multiplicação
Isha e seus estudos

Pensativa, argumentou sobre os dizeres da respeitada professora: "nossa na matemática considero a parte teórica na maioria das vezes bastante entediante.

Será que este assunto é fácil mesmo como ela diz? Qual interferência que essas propriedades causam? É necessário sempre utilizá-las em cálculos com a multiplicação?"

Algum problema Isha?

Dúvidas de Isha com a multiplicação

De repente em poucos passos, a professora Madalena se aproxima de Isha e a questiona:

"Isha esta tudo bem? Parece que não esta conseguindo ouvir a minha voz aqui no fundo da sala. Gostaria de sentar aqui a frente?" Questionou a professora

"Gostaria sim professora. A senhora se importa de repetir o acabou de explicar? As propriedades da multiplicação é um assunto que me interessa bastante." Respondeu Isha.

"Claro, claro!  Por favor venha, sente-se aqui! Repetirei agora mesmo o conteúdo." 

Apresentando cada propriedade

Estudando as propriedades da multiplicação

E então a professora Madalena começa a  repetir o conteúdo.

"Por favor prestem bastante atenção! A pedido da colega Isha vou revisar todo o conteúdo. Peço que todos vocês se reorganizem aqui mais a frente bem próximos da lousa.

Bem meninos e meninas, primeiramente é necessário considerar para todas as propriedades que serão mencionadas, que os números [math] a, b [/math] e [math] c [/math] como números naturais. Sendo assim, então vamos começar!" 

Propriedade comutativa

"Começaremos pela propriedade comutativa pessoal. Esta propriedade diz o seguinte: em qualquer multiplicação (produto), a ordem dos fatores não altera o resultado da operação." Explicou Madalena e continuou:

 

[math] a [/math] [math] \times [/math] [math] b [/math] [math] = [/math] [math] b [/math] [math] \times [/math] [math] a [/math]

"Assim, se [math] 8 \times 5 = 40 [/math],

   então [math] 5 \times 8 = 40 [/math];

Esses cálculos com inversão de ordem dos fatores, costumam ser realizados com bastante frequência na multiplicação. Comutando, ou seja, trocando de posição os fatores é possível ganhar tempo em muitos cálculos."

Propriedade associativa

A professora então falou da próxima propriedade.

"Assim como na adição, a propriedade associativa diz que: numa multiplicação, o agrupamento dos fatores não altera o resultado.

Observe:

[math] ( [/math][math] a [/math] [math] \times [/math] [math] b [/math][math] ) \times [/math] [math] c [/math] [math] = [/math] [math] a [/math] [math] \times ( [/math] [math] b [/math] [math] \times [/math] [math] c [/math] [math]) [/math]

Assim, se [math] (5 \times 8) \times 3 = 40 \times 3 = 120 [/math],

     então [math] 5 \times (8 \times 3) = 5 \times 24 = 120 [/math];

 

Primeiro foram agrupados os números [math] 5 [/math] e [math] 8 [/math] e em seguida, o resultado deste cálculo foi multiplicado com o número [math] 3 [/math]. Destacando que o par de parênteses que determina a ordem desses agrupamentos."

" E ai pessoal alguma dúvida sobre as duas propriedades revisadas até agora? Ei meninas, Isha e Isabela prestem atenção aqui por favor!" Disse Madalena.

"Estávamos só comentando como esta parte do conteúdo é bem tranquila professora" - respondeu Isabela - 

"Ok gente, então vamos continuar!"

Estudando as propriedades da multiplicação

"Legal então pessoal, todos aqui comigo! Vamos recordar agora mais duas propriedades da multiplicação muito simples e que são muito importantes."

Propriedade do elemento Neutro

"Entre as propriedades da multiplicação, considero esta a mais fácil de gravar. Ela diz que numa multiplicação, o número [math] 1 [/math] (um) inserido como fator, não altera o resultado. Assim este número é denominado o "elemento neutro" da multiplicação.

 [math] a [/math] [math] \times \ 1 = [/math] [math] a [/math]

Assim, se [math] 1 \times 9 = 9 [/math]

então  [math] 9 \times 1 = 9 [/math]

 Ainda, [math] 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1 [/math]

Propriedade fechamento

"Temos ainda também na multiplicação, a propriedade chamada fechamento que diz o seguinte: uma multiplicação de dois números naturais resultará sempre um outro número natural. Devido a isso, costumamos dizer que a operação multiplicação é fechada em [math] \mathbb {N} [/math]. Costuma ser uma propriedade da multiplicação pouco mencionada.

Assim,  [math] 6 \times 4 = 24 [/math]

que é um número natural.

temos que  [math] 24 \times 2 = 48 [/math]

que é outro número natural.

Comentando as propriedades da multiplicação

"Isha, se quiser amiga nos encontramos no próximo final de semana na sua casa e a gente revisa mais uma vez todo esse conteúdo ai. O que você acha da ideia? Comentou Isabela.

"Gostaria muito sim Isabela. Vou pedir a minha mãe pra comprar algumas pizzas pra gente. A gente estuda e depois se diverte um bocado!" Respondeu Isha. "Vamos voltar a focar ali na explicação da professora!"

 

"Agora pessoal vou explicar como funciona a propriedade que não ocorre na adição mas tem na multiplicação. Muita gente não entende a sua importância e como se trata de uma ferramenta poderosa para a resolução de cálculos. Vamos a ela:"

Propriedade distributiva

Distributiva da multiplicação

 

Esta propriedade também é conhecida popularmente como propriedade do "chuveirinho" pois, podemos fazer uso de setas para auxiliar com os cálculos, como mostra a imagem acima. Existem duas formas de cálculo com a propriedade distributiva. Uma em relação a adição e outra em relação a subtração. Vamos ver como funciona cada uma delas agora:"

Propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição

 

"O produto de um número por uma soma é igual a soma do produto de cada parcela por esse número. Ou ainda, o produto de uma soma é igual a soma dos produtos."

 

"O produto de um número por uma soma é igual a soma do produto de cada parcela por esse número. Ou ainda, o produto de uma soma é igual a soma dos produtos."

[math] ( [/math][math] a [/math] [math] + [/math] [math] b [/math][math] ) \times [/math] [math] c [/math] [math] = [/math] [math] a [/math] [math] \times [/math] [math] c [/math] [math] + [/math] [math] b [/math] [math] \times [/math] [math] c [/math] [math] [/math]

Assim, [math] (7 + 6) \times 5 = 7 \times 5 + 6 \times 5 = 30 + 35 = 65 [/math]

Propriedade distributiva da multiplicação em relação a subtração

 

"O produto de um número por uma subtração é igual a diferença do produto do minuendo por esse número e do produto do subtraendo por esse mesmo número. Ou ainda, o produto de uma subtração é igual a subtração dos produtos. Recordando que com números naturais o minuendo necessariamente precisa ser maior que o subtraendo para haver a subtração."

 

[math] ([/math][math] a [/math] [math] - [/math] [math] b [/math][math]) \times [/math] [math] c [/math] [math] = [/math] [math] a [/math] [math] \times [/math] [math] c [/math] [math] - [/math] [math] b [/math] [math] \times [/math] [math] c [/math]
Assim, [math] (6 - 5) \times 5 = 30 - 25 = 5 [/math]

Finalizando a revisão

Professora Ângela e as propriedades da multiplicação

 

"Lembrem-se, vocês vão se deparar a todo instante durante o seu aprendizado em matemática com todas essas propriedades. De forma isolada ou simultânea, as propriedades da multiplicação estarão lá sempre dispostas para o seu uso. Tenham todas sempre em mãos." Concluiu a professora Madalena.

Mas por que estudar as propriedades da multiplicação?

Como pudemos notar, as propriedades da multiplicação são de importância fundamental para a compreensão e resolução de problemas matemáticos. Elas tornam a manipulação de números mais eficientes e permitem simplificar cálculos complexos.

Ao dominar essas propriedades, você estabelece uma base sólida para explorar conceitos matemáticos mais avançados.

É crucial praticar e aplicar essas propriedades em situações do dia a dia para aprimorar seu entendimento e suas habilidades matemáticas.

Preparados para praticar?

"Se eu vi mais longe, foi por estar sobre ombros de gigantes."

Isaac Newton

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Preparado para praticar? Tome papel e caneta se achar necessário, responda calmamente mas, fique atento ao tempo!

Tempo encerrado!


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Exercícios sobre as propriedades da multiplicação

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1) Se o resultado do produto [math] 11 \times 12 \times 13 \times 14 = 24024 [/math], o que podemos afirmar sobre o produto [math] 14 \times 11 \times 13 \times 12 = ? [/math]

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