A divisão de números naturais
A divisão de números naturais é uma das ferramentas mais utilizadas na matemática e a que também gera mais dúvidas. Vamos aprender esta importante operação?
Introdução
A divisão é a operação matemática utilizada para separar uma quantidade em partes iguais. Com a divisão aprendemos como “fracionar” algo. É a operação inversa da multiplicação. A todo momento nos deparamos em nosso cotidiano com situações que envolvem a divisão.
O símbolo padrão que representa esta operação é um traço horizontal com dois pontos. Esses pontos ficam acima e abaixo do traço veja:
Para escrever o cálculo faríamos assim:
Existem outras formas de representar a divisão de números naturais. Também podemos colocar os elementos da operação entre uma barra horizontal inclinada ou simplesmente utilizar dois pontos na posição vertical. Veja abaixo.
Termos da divisão
Os termos da divisão são chamados: Dividendo, divisor, quociente e resto.
Dividendo (D) é o nome dado ao número que será dividido na operação.
Divisor (d) é o nome dado ao número que vai dividir o dividendo na operação.
Quociente (q) é o nome dado ao resultado da operação.
Resto (r) é o nome dado ao termo que pode se apresentar na forma nula, indicando se a divisão é exata ou se apresentar como um número. Neste último caso, seu significado é de que houve sobra após o processo, indicando desta vez que a divisão é inexata.
O método da chave
O método da chave ou algoritmo da divisão é um modo bem prático de obter os resultados dessa operação. Na imagem abaixo é mostrado como esse método é representado. Temos um símbolo no formato da letra L separando cada termo e como ficam dispostos para os cálculos.
O passo a passo
Vamos entender como esse algoritmo funciona. Vamos efetuar agora nossa primeira divisão com números naturais bem passo a passo. Basta observar cada detalhe com calma e não terá problemas. Vamos efetuar a divisão de [math] 8 [/math] por [math] 4 [/math]. Iniciamos posicionando o dividendo na chave.
Agora posicionamos o divisor em seu lugar na chave.
Continuando, agora a divisão deve ser efetuada. Nesse passo você deve recorrer a tabuada do quatro. Nesta tabuada você vai procurar um resultado igual ao dividendo ou o mais próximo dele. Observe.
Encontramos na tabuada do 4 o resultado idêntico ao dividendo. Aqui o dividendo é igual ao produto e o divisor é igual ao multiplicando. Temos então o multiplicador, ou seja, o número 2, como o quociente procurado da divisão.
Como a divisão é exata, o resto é nulo e encerramos nosso algoritmo.
Divisor com dois ou mais algarismos
Para muitos, quando o divisor é um número com mais de um algarismo a divisão se torna uma operação complicada.
Na verdade não muda nada. O algoritmo continua funcionando da mesma forma. O que acontece é que a operação se torna um pouco mais trabalhosa pois geralmente a tabuada é decorada até o número [math] 10 [/math].
Então as tabuadas do divisor terão que ser construídas antes de calcular. Números maiores, cálculos maiores apenas isso. Vamos efetuar a divisão de [math] 4984 [/math] por [math] 56 [/math].
Começamos posicionando os números utilizando o método da chave.
Seguindo o processo do algoritmo da divisão, iniciamos marcando o número [math] 4 [/math]. Como ele possui, em valor absoluto, valor menor que [math] 56 [/math] então não podemos considerá-lo para iniciar a divisão.
Juntamos então o [math] 4 [/math] com o próximo algarismo, o das centenas formando dessa vez [math] 49 [/math]. Veja que este é ainda um número menor que [math] 56 [/math]. Portanto ainda não podemos utilizá-lo passando para o próximo algarismo.
Adicionando o algarismo das dezenas, formamos o número [math] 498 [/math] que sendo maior que [math] 56 [/math], poderá ser utilizado para iniciar a divisão. Marcamos com um traço acima esse número.
Precisamos da tabuada do [math] 56 [/math] para dar continuidade ao cálculo. Portanto vamos construí-la.
Na presente tabuada, o número que mais se aproxima para baixo do [math] 498 [/math] é o [math] 448 [/math]. Esse resultado ocorreu quando o [math] 56 [/math] foi multiplicado por [math] 8 [/math]. Então o [math] 8 [/math] será nosso primeiro resultado no quociente. Veja a imagem abaixo.
Subtraímos [math] 448 [/math] de [math] 498 [/math] e encontramos [math] 50 [/math].
Agora "descemos o 4" colocando ao lado do 50 para formar um novo dividendo. Temos agora 504 dividido por 56 e reiniciamos o algoritmo.
Consultamos novamente a tabuada e dessa vez será colocado o 9 no quociente pois encontramos exatamente o resultado 504 na tabuada confira abaixo.
Agora subtraímos o resultado do dividendo e como não há mais algarismos para "descer" encerramos nossa conta.
Encontramos então o número [math] 89 [/math] como resposta de nossa operação.
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Zero como divisor? Jamais!
O zero jamais poderá ser divisor de algum número.
Agora veja bem e não confunda. Não há problema em colocar números terminados em zero no divisor.
Uma poderosa relação fundamental
A divisão de números naturais possui uma importante relação que diz o seguinte:
Existem muitos problemas de divisão que são resolvidos facilmente com a aplicação desta relação.
Condições de existência da divisão de números naturais
Com os tópicos citados anteriormente, chegamos a seguinte conclusão:
A divisão de dois números naturais só existe quando,
O item número um simplesmente menciona a já comentada relação fundamental.
O item número dois menciona que o resto de uma divisão de números naturais deve ser MAIOR OU IGUAL a zero e sempre MENOR que o divisor.
Com exemplos tudo fica mais fácil
Preste atenção ao seguinte probleminha.
Em uma divisão em que o divisor e o quociente possuem o mesmo valor, sabe-se que a soma desses dois vale [math] 10 [/math]. Como o resto possui o maior valor possível, então o dividendo dessa operação será igual a:
Bem, para começar, como possuímos diversos valores para identificar, fazemos uso da relação fundamental da divisão.
Sabemos que divisor e quociente possuem o mesmo valor e sua soma é [math] 10 [/math]. Portanto os valores de [math] d [/math] e [math] q [/math] já são facilmente descobertos. Cada um vale [math] 5 [/math]. Temos então na relação:
Para encontrar o dividendo basta agora identificar o resto. Pela condição de existência sabemos que o resto não deve ser maior que o divisor. Como este é igual a 5, o valor máximo que o resto pode obter é 4. Então está resolvido nosso problema.
A resposta do nosso problema é o número 29.
Que tal praticar um pouco?
"A beleza da matemática só se mostra aos seguidores mais pacientes."
Maryam Mirzakhani
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