A potenciação de números naturais

A potenciação de números naturais é uma importante operação matemática que se aplica em muitas situações do cotidiano. Chegou a hora de aprender ou entender um pouco mais sobre ela.

Introdução

Das operações mais simples até o uso da potenciação, a matemática passou por diversas transformações durante um longo tempo. Assim como as civilizações iam evoluindo a matemática também percorria o mesmo caminho.

Sabe-se que o uso dessa operação tornou-se mais comum quando a humanidade começou a questionar problemas envolvendo o tamanho de partículas cada vez menores e longas distâncias entre os astros do cosmos.

Graças a seu uso o desenvolvimento da álgebra tornou-se inevitável.

O que grãos de areia tem a ver com a potenciação de números naturais

Minúsculos grãos de areia

Estrelas distantes no céu

Potenciação é a operação matemática utilizada para escrever de forma resumida, multiplicações com fatores iguais.

Multiplicação de fatores iguais

Vamos aprender como efetuar a potenciação de números naturais.

Termos da potenciação

Os termos da potenciação são chamados: base, expoente e potência.

Base (b) é o nome dado ao número que representa a multiplicação.

Expoente (e) é o nome dado ao número que determina a quantidade de vezes que o número representado na base será multiplicado.

Potência (p) é o nome dado ao resultado da operação.

Estes termos são expostos da seguinte forma:

O cálculo passo a passo

Vamos entender agora como esse algoritmo funciona. Como foi mencionado o expoente determina a quantidade de vezes que a base será escrita. Façamos um exemplo seguindo esta "regrinha". Vamos encontrar o resultado da seguinte potenciação:

Primeiro repetimos a base e em seguida, olhamos para o expoente para saber quantas vezes essa base será repetida. No nosso exemplo temos a base 4 repetida três vezes veja.

Depois da multiplicação escrita, basta efetuá-la para encontrarmos o resultado que recebe o nome de potência.

Finalizamos nosso pequeno algoritmo e encerramos a potenciação. Bem simples não é mesmo. Concluímos então que:

Pronto concluído. Finalizamos nosso pequeno algoritmo e encerramos a potenciação. Bem simples não é mesmo.

ATENÇÃO: Muita gente erra a potenciação porque multiplica base e expoente e isso não pode ser feito. Veja que nesse caso, o resultado seria 12 bem diferente do resultado 64 encontrado.

Propriedades da potenciação de números naturais

A potenciação de números naturais possui algumas propriedades importantes. Com o uso de tais propriedades, as potenciações podem ser escritas de formas mais simples. São elas:

Multiplicação de potências com bases iguais

Quando multiplicamos várias potências de bases iguais, podemos repetir essa base e simplesmente somar todos os expoentes.

Multiplicação de potencias de mesma base

Divisão de potências com bases iguais

Quando dividimos potências com bases iguais, podemos repetir a base e simplesmente subtrair os expoentes.

Potência de potência

Neste caso particular temos a base em forma de potência. Para usar a propriedade, basta multiplicar os expoentes que aparecem.

Potência de um produto

Neste outro caso particular, a base da potenciação é um produto. Para fazer uso da propriedade devemos elevar cada fator do produto (base) ao expoente.

Expoente zero e expoente 1

Sempre que o expoente de uma potenciação for o número zero e a base maior ou igual a 1, o resultado da potenciação será sempre igual a 1.

Sempre que o expoente de uma potenciação for o número um, o resultado desta potenciação será igual ao próprio valor da base.

Aplicação em um problema

Agora vamos ver uma situação prática de uso da potenciação de números naturais.

Valéria tinha 5 bolsas. Em cada uma das bolsas ela tinha estojos. Em cada um dos estojos ela tinha 5 lapiseiras. Represente o total de lapiseiras de Valéria na forma de potenciação.

Estudante sorridente - potenciação de naturais

Vamos lá! Lembrando que a potenciação é uma forma simplificada de alguns tipos de multiplicação, então primeiro encontramos a multiplicação que ocorre no problema em questão.

5 bolsas X 5 estojos X 5 lapiseiras

Pronto agora fica fácil o próximo passo. Basta representar esta multiplicação em forma de potência como aprendemos, assim:

[math] 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5 ^{3} [/math]

Vamos praticar um pouco?

"A matemática pura é, à sua maneira, a poesia das ideias lógicas."

Albert Einstein

Preparado para praticar? Tome papel e caneta se achar necessário, responda calmamente mas, fique atento ao tempo!

Tempo encerrado!

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Exercícios sobre potenciação de números naturais

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1 / 8

1) O resultado da expressão numérica [math] [(3 - 2)^ {2} \times (1 \times 9)^ {2}] \div 6 [/math], elevado a quarta potência é igual a:

a) [math] 81 [/math]

b) [math] 9 [/math]

c) [math] 64 [/math]

d) [math] 27 [/math]

2 / 8

2) O condomínio onde Henrique mora possui 4 blocos. Cada bloco possui 4 andares. Em cada andar há 4 apartamentos e para cada apartamento há 4 vagas na garagem. Representando em forma de potência o número de vagas desse prédio obtemos:

a) [math] 4^ {4} [/math]

b) [math] 4^ {2} [/math]

c) [math] 4^ {3} [/math]

d) Não é possível esse tipo de representação.

3 / 8

3) Qual o valor da soma [math] 2 ^{6} + 2 ^{5} + 2 ^{4} + 2 ^{3} + 2 ^{2} + 2 ^{1} + 2 ^{0} [/math] ?

a) [math] 137 [/math]

b) [math] 157 [/math]

c) [math] 127 [/math]

d) [math] 147 [/math]

4 / 8

4) Sávio recebeu, de cada um dos seus 6 amigos, 6 pacotes contendo 6 figurinhas cada. Quantas figurinhas ele recebeu, no total?

a) [math] 116 [/math]

b) [math] 416 [/math]

c) [math] 216 [/math]

d) [math] 316 [/math]

5 / 8

5) Simplificando a expressão [math] (2 ^{9} : 2 ^{5} \cdot 2 ^{0}) ^{2} [/math] obtemos:

a) [math] 2^ {10} [/math]

b) [math] 2^ {6} [/math]

c) [math] 2^ {8} [/math]

d) [math] 2^ {4} [/math]

6 / 8

6) Simplificando a expressão [math] (2 ^{4} \cdot 2 ^{3})^{5} [/math] obtemos:

a) [math] 2^ {35} [/math]

b) [math] 2^ {37} [/math]

c) [math] 2^ {47} [/math]

d) [math] 2^ {45} [/math]

7 / 8

7) Aplicando uma das propriedades da potenciação na expressão [math] 7^ {6} \times 7^ {8} \times 7 [/math], obtemos uma potência de única base, igual a:

a) [math] 7^ {16} [/math]

b) [math] 7^ {12} [/math]

c) [math] 7^ {15} [/math]

d) [math] 7^ {13} [/math]

8 / 8

8) O valor de [math] 2 ^{6} [/math] e [math] 7 ^{5} [/math] são exatamente iguais a :

a) [math] 128 [/math] e [math] 16807 [/math]

b) [math] 64 [/math] e [math] 16780 [/math]

c) [math] 32 [/math] e [math] 16807 [/math]

d) [math] 64 [/math] e [math] 16807 [/math]

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A potenciação de números naturais

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Multiplicação de potências com bases iguais

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Potência de potência

Potência de um produto

Expoente zero e expoente 1

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