As propriedades da adição no conjunto [math] \mathbb {N} [/math]
Quem vai nos ajudar no estudo das propriedades da adição será a Micaela. Aluna muito dedicada que adora trazer questionamentos de matemática para os seus pais, principalmente sobre temas recém abordados na escola. Foi assim que um dia desses, após a professora ter aplicado o assunto adição de números naturais e iniciado este novo tópico, ela resolveu estudá-lo em sua casa como costumava fazer. Só que dessa vez, as coisas aconteceram de um jeito um pouco diferente. Vamos ver!
Mas afinal, o que são as propriedades da adição?
São propriedades importantes que ajudam a simplificar os cálculos, trazendo rapidez a resolução de problemas e facilitando o entendimento na construção de regras, fórmulas, demonstrações e teoremas.
O bate-papo na sala de casa.
O que se sabe sobre Micaela é que ela é uma menina que adora propor desafios e é bem curiosa. Reunida com seus pais como de costume e mesmo bastante atarefada, trouxe o seguinte questionamento sobre a operação adição.
- Papai, mamãe, olha só! Tenho uma perguntinha pra vocês. Bem simples e rapidinha ok! Qual é o resultado da soma [math] 2345 + 4227 [/math] ? Quem responde essa rápido?
- Essa é fácil filha, [math] 6572 [/math]. - respondeu seu pai rapidamente como havia pedido.
- Resposta correta, disse ela!
E em seguida o indagou dizendo:
- Papai, agora soma pra mim [math] 4227 + 2345 [/math] nesta ordem!
- Filha teremos o mesmo resultado?
- Sim - afirmou ela - mas, você saberia explicar por que isso acontece?
- Ih filha! Não me lembro.
- Pois então aguarde que já vou lhe explicar.
Apresentando cada propriedade
Propriedade Comutativa
Esses cálculos com inversão de ordem das parcelas, podem ser realizados sem problemas na adição devido a propriedade chamada comutativa.
Esta propriedade diz o seguinte: em qualquer adição, a ordem das parcelas não altera o resultado da operação.
Assim, se [math] 3 + 4 = 7 [/math],
então [math] 4 + 3 = 7 [/math];
Esta propriedade é uma verdadeira mão na roda em uma infinidade de situações. Esta comutação, ou seja, esta possibilidade de mudança de posição das parcelas costuma trazer bastante rapidez aos cálculos.
- Que legal! Realmente não me lembrava disso! Exclamou o pai de Micaela.
- Bem, mas você me desafiou com uma soma simples. Convenhamos que essa foi bem fácil. E no caso de três ou mais parcelas? Haveria alguma propriedade para esta situação?
Micaela responde:
- Sim papai! Vou lembrar vocês de mais uma propriedade.
Propriedade Associativa
A propriedade que veremos agora se chama associativa e diz o seguinte: Numa adição, o agrupamento das parcelas não altera o resultado.
Observe este exemplo prático.
Assim, se [math] (3 + 4) + 2 = 9 [/math],
então [math] 3 + (4 + 2) = 9 [/math];
Primeiro foram agrupados os números [math] 3 [/math] e [math] 4 [/math] e depois os números [math] 4 [/math] e [math] 2 [/math]. Os parênteses que determinam a ordem desses agrupamentos.
- Bacana Micaela - disse sua mãe! - Não me lembrava de tal propriedade.
- Pois é mamãe ela ajuda bastante. Imagine que fosse adicionado o número [math] 1145 [/math] aquela soma que passei para o papai.
[math] 2345 + 4227 + 1145 [/math]
Vemos aqui que a pessoa pode ficar a vontade em somar de inicio os dois primeiros números, ou se preferir começar pelos dois últimos. Enfim, faria o que achar mais conveniente já que o resultado não mudaria. Olha que espetáculo!
[math] (2345 + 4227) + 1145 = ? [/math]
[math] 6572 + 1145 = 7717 [/math]
Da mesma forma:
[math] 2345 + (4227 + 1145)= ? [/math]
[math] 2345 + 5372 = 7717[/math]
- Legal relembrar essas propriedades filha. - comentou o pai de Micaela. - A gente nem se da conta do quanto são simples e importantes.
- Lembro bem de ainda ter mais algumas - falou sua mãe.
- Tem sim e vou falar sobre elas neste momento. Tudo bem pra vocês? - Questionou Micaela.
- Claro, claro disseram os dois bem ansiosos por relembrar mais esse conteúdo.
- Então vamos lá! Imagine que o número zero seja inserido nesta última expressão que usamos na propriedade associativa.
[math] 2345 + 4227 + 1145 + 0 = ? [/math]
- Poderíamos inseri-lo no meio da expressão ou no início tanto faz. Veja!
[math] 2345 + 0 + 4227 + 1145 = ? [/math]
[math] 0 + 2345 + 4227 + 1145= ? [/math]
- O que acham que aconteceria?
- Eu acredito que não muda nada, respondeu a mãe.
- Sim, isso mesmo mamãe! Na adição o número zero é considerado um número neutro, isto é, um número que não interfere no resultado independente do lugar em que for colocado ou do número de parcelas existentes. Vamos a definição.
Propriedade Elemento Neutro
Essa propriedade diz que numa adição, o número [math] 0 [/math] (zero) inserido como parcela, não altera o resultado das demais. Esse é o motivo do número zero ser denominado o "elemento neutro" da adição.
Assim, se [math] 1 + 7 = 8 [/math]
então [math] 1 + 0 + 7 = 8 [/math]
Nesse caso, o número zero pode ser posicionado em qualquer ordem entre as parcelas.
- Entenderam? Bem simples essa certo! E ainda tem mais uma propriedade que preciso comentar.
- Então vamos lá senhorita conhecedora das propriedades! Diga-nos qual seria esta última e o que de interessante ela nos traz. Mencionou o pai.
- Ah! Esta também é bem tranquila. Vou mostrar para vocês.
Propriedade Fechamento
- Para encerrar temos a propriedade chamada fechamento que diz o seguinte: uma adição de dois números naturais resultará sempre um outro número natural. Neste caso, também costumamos dizer que a operação adição é fechada em [math] \mathbb {N} [/math]. Esta propriedade é fundamental para o entendimento de definições que veremos futuramente.
Assim, [math] 12 + 17 = 29 [/math]
que é um número natural.
Assim, [math] 25 + 40 + 17 = 82 [/math]
que é outro número natural.
- Neste caso, também costumamos dizer que a operação adição é fechada em [math] \mathbb {N} [/math]. Esta propriedade é fundamental para o entendimento de definições que veremos futuramente.
Você vai se deparar com estas propriedades a todo instante durante o seu aprendizado em matemática. Tenha todas sempre a mão pois serão bastante requisitadas.
Assista ao vídeo abaixo e inscreva-se no canal para entender melhor o assunto. Use-o como complemento aos seus estudos.
Preparados para praticar?
"Se eu vi mais longe, foi por estar sobre ombros de gigantes."
Isaac Newton
1) Gabriel ao realizar a adição [math] 125 + 348 + 769 + 213 [/math] seguiu os seguintes passos: primeiro ele colocou lado a lado os números [math] 125 [/math] e [math] 213 [/math]. Depois ele somou todos os números em sequência. Desta forma ele ao iniciar os cálculos fez uso de qual propriedade da adição?
2) Se o resultado da soma [math] 49 + 72 + 57 + 33 + 12 = 223 [/math], o que podemos afirmar sobre a soma [math] 12 + 49 + 33 + 72 + 57 = 223 [/math]. Por que?
3) Damiana realizou os seguintes cálculos:
1ª etapa: [math] (468 +354) + (124 + 211) + (107 + 561) =[/math]
2ª etapa: [math] 822 + 355 + 668 = [/math]
3ª etapa: [math] 822 + (355 + 668) = [/math]
4ª etapa: [math] 822 + 1023 = 1845 [/math].
Pode-se afirmar que na primeira etapa ela fez uso de qual propriedade da adição? E na terceira etapa?
4 - Se adicionarmos o número zero a uma determinada soma, de acordo com a propriedade do elemento neutro, não ocorre nenhuma alteração no resultado final. Mas, o que ocorre se adicionarmos um número terminado em zero como o [math] 10 [/math] ou o [math] 100 [/math] por exemplo? A propriedade do elemento neutro valeria ou não também para esta situação?
5 - Seja a soma [math] 13456 + 34675 [/math] e uma outra soma [math] 134 + 345 [/math]. Sobre o que foi estudado com relação as propriedades da adição, o que elas teriam em comum?
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