As propriedades da multiplicação no conjunto [math] \mathbb {N} [/math]
Olá caro estudante! Nesta página vamos aprender sobre as propriedades da multiplicação. Se você já teve contato com os assuntos multiplicação de números naturais e propriedades da adição, não terá muita dificuldade de compreender este conteúdo. Então mãos a obra!
Os questionamentos de Isha
Uma vez em uma sala de aula do 6º ano do ensino fundamental de um colégio particular, a aluna de nome Isha encontrava-se sentada ao fundo.
Sempre atenta e muito determinada, estava ouvindo a professora Madalena falar sobre as propriedades da multiplicação na aula de matemática.
Pensativa, argumentou sobre os dizeres da respeitada professora: "nossa na matemática considero a parte teórica na maioria das vezes bastante entediante.
Será que este assunto é fácil mesmo como ela diz? Qual interferência que essas propriedades causam? É necessário sempre utilizá-las em cálculos com a multiplicação?"
Algum problema Isha?
De repente em poucos passos, a professora Madalena se aproxima de Isha e a questiona:
"Isha esta tudo bem? Parece que não esta conseguindo ouvir a minha voz aqui no fundo da sala. Gostaria de sentar aqui a frente?" Questionou a professora
"Gostaria sim professora. A senhora se importa de repetir o acabou de explicar? As propriedades da multiplicação é um assunto que me interessa bastante." Respondeu Isha.
"Claro, claro! Por favor venha, sente-se aqui! Repetirei agora mesmo o conteúdo."
Apresentando cada propriedade
E então a professora Madalena começa a repetir o conteúdo.
"Por favor prestem bastante atenção! A pedido da colega Isha vou revisar todo o conteúdo. Peço que todos vocês se reorganizem aqui mais a frente bem próximos da lousa.
Bem meninos e meninas, primeiramente é necessário considerar para todas as propriedades que serão mencionadas, que os números [math] a, b [/math] e [math] c [/math] como números naturais. Sendo assim, então vamos começar!"
Propriedade comutativa
"Começaremos pela propriedade comutativa pessoal. Esta propriedade diz o seguinte: em qualquer multiplicação (produto), a ordem dos fatores não altera o resultado da operação." Explicou Madalena e continuou:
[math] a [/math] [math] \times [/math] [math] b [/math] [math] = [/math] [math] b [/math] [math] \times [/math] [math] a [/math]
"Assim, se [math] 8 \times 5 = 40 [/math],
então [math] 5 \times 8 = 40 [/math];
Esses cálculos com inversão de ordem dos fatores, costumam ser realizados com bastante frequência na multiplicação. Comutando, ou seja, trocando de posição os fatores é possível ganhar tempo em muitos cálculos."
Propriedade associativa
A professora então falou da próxima propriedade.
"Assim como na adição, a propriedade associativa diz que: numa multiplicação, o agrupamento dos fatores não altera o resultado.
Observe:
[math] ( [/math][math] a [/math] [math] \times [/math] [math] b [/math][math] ) \times [/math] [math] c [/math] [math] = [/math] [math] a [/math] [math] \times ( [/math] [math] b [/math] [math] \times [/math] [math] c [/math] [math]) [/math]
Assim, se [math] (5 \times 8) \times 3 = 40 \times 3 = 120 [/math],
então [math] 5 \times (8 \times 3) = 5 \times 24 = 120 [/math];
Primeiro foram agrupados os números [math] 5 [/math] e [math] 8 [/math] e em seguida, o resultado deste cálculo foi multiplicado com o número [math] 3 [/math]. Destacando que o par de parênteses que determina a ordem desses agrupamentos."
" E ai pessoal alguma dúvida sobre as duas propriedades revisadas até agora? Ei meninas, Isha e Isabela prestem atenção aqui por favor!" Disse Madalena.
"Estávamos só comentando como esta parte do conteúdo é bem tranquila professora" - respondeu Isabela -
"Ok gente, então vamos continuar!"
"Legal então pessoal, todos aqui comigo! Vamos recordar agora mais duas propriedades da multiplicação muito simples e que são muito importantes."
Propriedade do elemento Neutro
"Entre as propriedades da multiplicação, considero esta a mais fácil de gravar. Ela diz que numa multiplicação, o número [math] 1 [/math] (um) inserido como fator, não altera o resultado. Assim este número é denominado o "elemento neutro" da multiplicação.
[math] a [/math] [math] \times \ 1 = [/math] [math] a [/math]
Assim, se [math] 1 \times 9 = 9 [/math]
então [math] 9 \times 1 = 9 [/math]
Ainda, [math] 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1 [/math]
Propriedade fechamento
"Temos ainda também na multiplicação, a propriedade chamada fechamento que diz o seguinte: uma multiplicação de dois números naturais resultará sempre um outro número natural. Devido a isso, costumamos dizer que a operação multiplicação é fechada em [math] \mathbb {N} [/math]. Costuma ser uma propriedade da multiplicação pouco mencionada.
Assim, [math] 6 \times 4 = 24 [/math]
que é um número natural.
temos que [math] 24 \times 2 = 48 [/math]
que é outro número natural.
"Isha, se quiser amiga nos encontramos no próximo final de semana na sua casa e a gente revisa mais uma vez todo esse conteúdo ai. O que você acha da ideia? Comentou Isabela.
"Gostaria muito sim Isabela. Vou pedir a minha mãe pra comprar algumas pizzas pra gente. A gente estuda e depois se diverte um bocado!" Respondeu Isha. "Vamos voltar a focar ali na explicação da professora!"
"Agora pessoal vou explicar como funciona a propriedade que não ocorre na adição mas tem na multiplicação. Muita gente não entende a sua importância e como se trata de uma ferramenta poderosa para a resolução de cálculos. Vamos a ela:"
Propriedade distributiva
Esta propriedade também é conhecida popularmente como propriedade do "chuveirinho" pois, podemos fazer uso de setas para auxiliar com os cálculos, como mostra a imagem acima. Existem duas formas de cálculo com a propriedade distributiva. Uma em relação a adição e outra em relação a subtração. Vamos ver como funciona cada uma delas agora:"
Propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição
"O produto de um número por uma soma é igual a soma do produto de cada parcela por esse número. Ou ainda, o produto de uma soma é igual a soma dos produtos."
"O produto de um número por uma soma é igual a soma do produto de cada parcela por esse número. Ou ainda, o produto de uma soma é igual a soma dos produtos."
[math] ( [/math][math] a [/math] [math] + [/math] [math] b [/math][math] ) \times [/math] [math] c [/math] [math] = [/math] [math] a [/math] [math] \times [/math] [math] c [/math] [math] + [/math] [math] b [/math] [math] \times [/math] [math] c [/math] [math] [/math]
Assim, [math] (7 + 6) \times 5 = 7 \times 5 + 6 \times 5 = 30 + 35 = 65 [/math]
Propriedade distributiva da multiplicação em relação a subtração
"O produto de um número por uma subtração é igual a diferença do produto do minuendo por esse número e do produto do subtraendo por esse mesmo número. Ou ainda, o produto de uma subtração é igual a subtração dos produtos. Recordando que com números naturais o minuendo necessariamente precisa ser maior que o subtraendo para haver a subtração."
[math] ([/math][math] a [/math] [math] - [/math] [math] b [/math][math]) \times [/math] [math] c [/math] [math] = [/math] [math] a [/math] [math] \times [/math] [math] c [/math] [math] - [/math] [math] b [/math] [math] \times [/math] [math] c [/math]
Assim, [math] (6 - 5) \times 5 = 30 - 25 = 5 [/math]
Finalizando a revisão
"Lembrem-se, vocês vão se deparar a todo instante durante o seu aprendizado em matemática com todas essas propriedades. De forma isolada ou simultânea, as propriedades da multiplicação estarão lá sempre dispostas para o seu uso. Tenham todas sempre em mãos." Concluiu a professora Madalena.
Mas por que estudar as propriedades da multiplicação?
Como pudemos notar, as propriedades da multiplicação são de importância fundamental para a compreensão e resolução de problemas matemáticos. Elas tornam a manipulação de números mais eficientes e permitem simplificar cálculos complexos.
Ao dominar essas propriedades, você estabelece uma base sólida para explorar conceitos matemáticos mais avançados.
É crucial praticar e aplicar essas propriedades em situações do dia a dia para aprimorar seu entendimento e suas habilidades matemáticas.
Preparados para praticar?
"Se eu vi mais longe, foi por estar sobre ombros de gigantes."
Isaac Newton
Temas relacionados:
Conjuntos
Relações com Conjuntos
Operações com Conjuntos
Subconjuntos
Algarismos romanos
Operações com algarismos romanos
Operações com algarismos romanos - multiplicação
Sistema de numeração decimal
Números naturais
Adição de números naturais
Propriedades da adição
Subtração de números naturais
Multiplicação de números naturais
Divisão de números naturais
Potenciação de números naturais
Radiciação de números naturais
Conjunto dos números naturais - parte 2
