A divisão de números naturais

Melancia dividida

A divisão de números naturais é uma das ferramentas mais utilizadas na matemática e a que também gera mais dúvidas. Vamos aprender esta importante operação?

Introdução

A divisão é a operação matemática utilizada para separar uma quantidade em partes iguais.  Com a divisão aprendemos como “fracionar” algo. É a operação inversa da multiplicação. A todo momento nos deparamos em nosso cotidiano com situações que envolvem a divisão.

Divisão de um sanduíche
Divisão de sanduíche
Divisão de limões
Divisão de alguns limões

O símbolo padrão que representa esta operação é um traço horizontal com dois pontos. Esses pontos ficam acima e abaixo do traço veja: 

Símbolo da divisão

Para escrever o cálculo faríamos assim:

cálculo de divisão

Existem outras formas de representar a divisão de números naturais. Também podemos colocar os elementos da operação entre uma barra horizontal inclinada ou simplesmente utilizar dois pontos na posição vertical. Veja abaixo.

Símbolo da divisão - barra
Símbolo da divisão - dois pontos

Termos da divisão

Os termos da divisão são chamados: Dividendo, divisor, quociente e resto.

Dividendo (D) é o nome dado ao número que será dividido na operação.

Divisor (d) é o nome dado ao número que vai  dividir o dividendo na operação.

Quociente (q) é o nome dado ao resultado da operação.

Resto (r) é o nome dado ao termo que pode se apresentar na forma nula, indicando se a divisão é exata ou se apresentar como um número. Neste último caso, seu significado é de que houve sobra após o processo, indicando desta vez que a divisão é inexata.

O método da chave

O método da chave ou algoritmo da divisão é um modo bem prático de obter os resultados dessa operação. Na imagem abaixo é mostrado como esse método é representado. Temos um símbolo no formato da letra L separando cada termo e como ficam dispostos para os cálculos.

Método da chave

O passo a passo

Vamos entender como esse algoritmo funciona. Vamos efetuar agora nossa primeira divisão com números naturais bem passo a passo. Basta observar cada detalhe com calma e não terá problemas. Vamos efetuar a divisão de [math] 8 [/math] por [math] 4 [/math]. Iniciamos posicionando o dividendo na chave.

Algoritmo da divisão de números naturais

Agora posicionamos o divisor em seu lugar na chave.

Algoritmo da divisão de números naturais- 2

Continuando, agora a divisão deve ser efetuada. Nesse passo você deve recorrer a tabuada do quatro. Nesta tabuada você vai procurar um resultado igual ao dividendo ou o mais próximo dele. Observe.

Tabuada do 4

Encontramos na tabuada do 4 o resultado idêntico ao dividendo. Aqui o dividendo é igual ao produto e o divisor é igual ao multiplicando. Temos então o multiplicador, ou seja, o número 2, como o quociente procurado da divisão. 

Algoritmo da divisão de números naturais - 3

Como a divisão é exata, o resto é nulo e encerramos nosso algoritmo.

Algoritmo da divisão de números naturais - 4

Divisor com dois ou mais algarismos

Para muitos, quando o divisor é um número com mais de um algarismo a divisão se torna uma operação complicada.

Na verdade não muda nada. O algoritmo continua funcionando da mesma forma. O que acontece é que a operação se torna um pouco mais trabalhosa pois geralmente a tabuada é decorada até o número [math] 10 [/math].

Então as tabuadas do divisor terão que ser construídas antes de calcular. Números maiores, cálculos maiores apenas isso. Vamos efetuar a divisão de [math] 4984 [/math] por [math] 56 [/math].

Começamos posicionando os números utilizando o método da chave.

Divisor com mais de um algarismo

Seguindo o processo do algoritmo da divisão, iniciamos marcando o número [math] 4 [/math]. Como ele possui, em valor absoluto, valor menor que [math] 56 [/math] então não podemos considerá-lo para iniciar a divisão.

Juntamos então o [math] 4 [/math] com o próximo algarismo, o das centenas formando dessa vez [math] 49 [/math]. Veja que este é ainda um número menor que [math] 56 [/math].  Portanto ainda não podemos utilizá-lo passando para o próximo algarismo.

Adicionando  o algarismo das dezenas, formamos o número [math] 498 [/math] que sendo maior que [math] 56 [/math], poderá ser utilizado para iniciar a divisão. Marcamos com um traço acima esse número.

Divisor com mais de um algarismo

Precisamos da tabuada do [math] 56 [/math] para dar continuidade ao cálculo. Portanto vamos construí-la.

Tabuada do 56

Na presente tabuada, o número que mais se aproxima para baixo do [math] 498 [/math] é o [math] 448 [/math]. Esse resultado ocorreu quando o [math] 56 [/math] foi multiplicado por [math] 8 [/math]. Então o [math] 8 [/math] será nosso primeiro resultado no quociente. Veja a imagem abaixo.

4984 dividido por 56

Subtraímos [math] 448 [/math] de [math] 498 [/math] e encontramos [math] 50 [/math].

4984 dividido por 56 passo 1

Agora "descemos o 4" colocando ao lado do 50 para formar um novo dividendo. Temos agora 504 dividido por 56 e reiniciamos o algoritmo.

4984 dividido por 56 passo 2

Consultamos novamente a tabuada e dessa vez será colocado o 9 no quociente pois encontramos exatamente o resultado 504 na tabuada confira abaixo.  

tabuada do 56

Agora subtraímos o resultado do dividendo e como não há mais algarismos para "descer" encerramos nossa conta. 

4984 dividido por 56 completa

Encontramos então o número [math] 89 [/math] como resposta de nossa operação. 

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Zero como divisor? Jamais!

O zero jamais poderá ser divisor de algum número.

Agora veja bem e não confunda. Não há problema em colocar números terminados em zero no divisor. 

Não é possível o zero como divisor
Divisão de números naturais - zero como divisor

Uma poderosa relação fundamental

A divisão de números naturais possui uma importante relação que diz o seguinte:

Relação fundamental da divisão de números naturais

Existem muitos problemas de divisão que são resolvidos facilmente com a aplicação desta relação.

Condições de existência da divisão de números naturais

Com os tópicos citados anteriormente, chegamos a seguinte conclusão:

                                                       A divisão de dois números naturais só existe quando,

Condições de existência de números naturais

O item número um simplesmente menciona a já comentada relação fundamental.

O item número dois menciona que o resto de uma divisão de números naturais deve ser MAIOR OU IGUAL a zero e sempre MENOR que o divisor.

Com exemplos tudo fica mais fácil

Preste atenção ao seguinte probleminha.

Em uma divisão em que o divisor e o quociente possuem o mesmo valor, sabe-se que a soma desses dois vale [math] 10 [/math]. Como o resto possui o maior valor possível, então o dividendo dessa operação será igual a:

Bem, para começar, como possuímos diversos valores para identificar, fazemos uso da relação fundamental da divisão.

Sabemos que divisor e quociente possuem o mesmo valor e sua soma é [math] 10 [/math]. Portanto os valores de [math] d [/math] e [math] q [/math] já são facilmente descobertos. Cada um vale [math] 5 [/math]. Temos então na relação:

divisor é igual a quociente mais o resto

Para encontrar o dividendo basta agora identificar o resto. Pela condição de existência sabemos que o resto não deve ser maior que o divisor. Como este é igual a 5, o valor máximo que o resto pode obter é 4. Então está resolvido nosso problema.

somas após divisão

A resposta do nosso problema é o número 29.

Que tal praticar um pouco?

"A beleza da matemática só se mostra aos seguidores mais pacientes."

Maryam Mirzakhani

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Preparado para praticar? Tome papel e caneta se achar necessário, responda calmamente mas, fique atento ao tempo!

Tempo encerrado!


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Exercícios sobre divisão de números naturais

Atenção!

Você terá um tempo máximo de 5 minutos para responder este questionário!

tail spin

1 / 5

1) Em uma escola será necessário organizar 756 livros em 18 prateleiras. Quantos livros deverão ser colocados em cada uma?

2 / 5

2) Em um passeio escolar, os 288 alunos convidados precisaram ser divididos em 8 ônibus. Quantos alunos ficaram em cada um?

Estudante indo à escola

3 / 5

3) Uma encomenda de 35 caixas contendo 45 itens em cada uma foi feita por um departamento de uma grande empresa. Os itens dessas caixas precisam ser distribuídos em partes iguais para 20 fornecedores dessa empresa. Após essa distribuição, a quantidade de itens que acabaram sobrando foi:

4 / 5

4) Um feirante precisou organizar uma quantidade de 888 maçãs em caixas contendo 24 cada uma. Qual o total de caixas que esse feirante organizou?

Caixa de maçãs

5 / 5

5) Arthur queria muito comprar um computador que estava em oferta. A promoção dizia que o computador custava [math] R$ \ 5.900,00 [/math]. Era possível dar um determinado valor de entrada e pagar o restante em até 6 parcelas iguais e sem juros. Sabendo que Arthur deu [math] R$ \ 1.700,00 [/math] de entrada, qual foi o valor pago por ele em cada prestação?

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