O que são conjuntos?

Conjuntos são agrupamentos de elementos com características semelhantes. Sendo assim, é considerado um conceito básico da matemática. Acredite, são incontáveis a quantidade de conjuntos que podemos observar e formar.

Conjuntos de Pinguins
Conjunto de pinguins

Com essa noção inicial, além de suas propriedades e relações; a matemática fica com uma compreensão melhor de estudo.

Dentro deste universo, os conjuntos numéricos são os principais objetos estudados. Portanto, ficará bem mais fácil entender como ocorre o desenvolvimento de cada um deles.

Conjuntos de Montanhas
Conjunto de montanhas

Uma noção intuitiva

Toda teoria aqui comentada será totalmente intuitiva pois, não será utilizada qualquer definição formal. Por isso será chamada de teoria ingênua

Essa teoria é amplamente usada na matemática, uma vez que facilita bastante o entendimento de diversos temas.

Ela foi utilizada pela primeira vez lá pelo finalzinho do século [math] XIX [/math]. Graças ao magnífico matemático Georg Cantor, temos hoje toda uma simbologia específica para conjuntos destacou de forma brilhante com seus trabalhos nesta área.

A apresentação dessa nova linguagem foi considerada marcante e inovadora para a época. Abrilhantou também seu nome e trouxe grande visibilidade para o assunto.

Atenção a notação e a representação!

Todo conjunto em matemática será nomeado por uma letra maiúscula do alfabeto ocidental. Por exemplo, o conjunto de todas as vogais desse alfabeto poderia ser nomeado e representado assim: [math] V = \{a, e, i, o, u \} [/math]

([math] lê-se: conjunto \ V [/math]).

Outro exemplo, seria o conjunto das idades de quatro irmãos. Ele poderia ter a seguinte forma: [math] I = \{7, 12, 15, 24 \} [/math].

Existem três formas de definir um conjunto em matemática: por enumeração de seus elementos, por meio de uma propriedade ou por diagramas de Venn. Vejamos cada uma delas agora.

Na representação por enumeração, os elementos são colocados entre chaves com todos separados por vírgulas.

Essas características estão bem visíveis nos exemplos anteriores.

Como o nome já diz, os elementos são apenas numerados, ou seja, expostos um a um.

No caso da representação por uma propriedade, ela deve ser bem definida e bem específica.

Retomando aos dois exemplos utilizados, suas representações por propriedade ficariam assim: [math] V = [/math] {vogais do alfabeto ocidental}; [math] I = [/math] {idade de quatro irmãos}.

Mas veja bem, nada impede que qualquer uma delas seja mencionada de outra maneira.

Em muitos casos, usa-se somente simbologia matemática para isso. O que é muito comum.

Para entender melhor, basta observar com atenção o seguinte conjunto:  [math] B = \{ x \in \mathbb {N} | 4 < x < 8 \} [/math].

Nesse caso a leitura seria a seguinte: "o conjunto [math] B [/math] é formado por um elemento (letra [math] x [/math]), pertencente ao conjunto dos números naturais, sendo que esse elemento encontram-se entre os números [math] 4 [/math] e [math] 8 [/math]."

Na maioria das vezes, o elemento [math] x [/math] representará um grupo e não um único elemento. Fácil não? Peço que leia novamente acompanhando a interpretação de cada símbolo.

Por fim, um diagrama de Venn é a representação de um conjunto na forma gráfica. Seus elementos são colocados dentro de elipses ou círculos que podem estar ou não entrelaçados.

Este nome é uma homenagem a contribuição do matemático John Venn para o estudo dos conjuntos. Ele também foi um grande matemático de sua época. Abaixo temos os diagramas de Venn representados.

Mais uma vez utilizamos os conjuntos que foram tomados como exemplo anteriormente.

Vogais em diagrama de Venn
Números em diagrama de Venn

Conjuntos que merecem destaque

Existem alguns conjuntos que devemos destacar, são eles: conjunto universo, unitário, vazio, finitos e infinitos. Falaremos de maneira resumida sobre cada um.

Conjunto Universo

Simplesmente trata-se de uma classe.  Para explicar melhor, podemos dizer que se trata de uma classe contendo elementos que estão inseridos em um determinado contexto. Cada conjunto universo tem uma infinidade de subconjuntos, que são apenas partes de um conjunto.

Na imagem abaixo, usamos com exemplo de conjunto universo a savana africana. Poderíamos destacar vários subconjuntos deste universo. Um deles poderia ser o subconjunto {girafas} ou ainda o subconjunto {arbustos}.

No dia a dia, costumamos usar mais a expressão conjuntos mesmo ao invés de subconjuntos . Isso geralmente acontece quando não mencionamos de forma clara, qual é o conjunto universo.

                     

Comjuntos de girafas - savana africana
Conjunto universo - savana africana

Conjunto vazio

Já o conjunto vazio, será aquele que não possui nenhum elemento. Sua representação é dada pela escrita [math] A = \emptyset [/math] ou [math] A = \{  \} [/math], sendo a primeira forma muito mais utilizada.

Mas não confunda. Conjunto vazio não é um conjunto que tem o zero como elemento. De certa forma, esse número costuma remeter mesmo essa ideia da não existência de elementos mas não é isso.

Para este caso em particular, o número zero [math] ( 0 ) [/math] seria considerado um elemento como outro qualquer. Se o zero estiver sozinho dentro do conjunto, a classificação não será de conjunto vazio e sim de conjunto unitário.

É importante notar que muitos conjuntos vazios poderão ser representados por uma propriedade que identifica a não existência de seus elementos. Vejamos um caso:

[math] P = \{ x \in \mathbb {N} | 3 < x < 4 \} [/math]

Aqui temos uma outra forma de representar o conjunto vazio. Vamos ler assim: trata-se do conjunto A, que possui elementos pertencentes ao conjunto dos números naturais, sendo que esses elementos, encontram-se entre os números 3 e 4.

Viu só! A cada exemplo vai ficando mais fácil de entender não é mesmo? Note que no conjunto dos números naturais não temos números entre 3 e 4. Daí como a propriedade mencionada no conjunto "não pode ser satisfeita", chegamos a conclusão que se trata de um conjunto vazio.

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Conjunto unitário

Conjunto unitário é aquele que possui somente um único elemento. Simples desse jeito. Vamos representar um  conjunto unitário com as três formas de representação. Seja o conjunto dos números naturais formado pelos números maiores que três e menores cinco.

Representação de conjunto 1
Conjunto unitário - representação por enumeração
Representação de conjunto 2
Conjunto unitário - representação por uma propriedade
Representação de conjunto 5
Conjunto unitário - representação por diagrama

Perceba a importância de deixar bem claro quem é nosso conjunto universo. No caso citado, veja como esse detalhe faz toda a diferença.

Conjuntos finitos e infinitos

Diz-se que um conjunto é finito quando é possível contar a quantidade de seus elementos.

Diz-se que um conjunto é infinito quando não se pode contar o seu total de elementos.

No vídeo abaixo, você pode visualizar de forma bem didática toda essa teoria, se for de sua preferência.

Capa de vídeo noções de conjuntos
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Ésquilo

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Tempo encerrado!


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Exercícios sobre teoria dos conjuntos

Atenção!

Você terá um tempo máximo de 5 minutos para responder este questionário!

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1) De acordo com o texto, dentre as opções abaixo, encontre aquela que expõe a correta definição de conjuntos :

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2) Seja [math] P = [/math] {conjunto do números pares maiores que 30 e menores que 39}. Esta forma de representação será nomeada como:

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3) Seja [math] S = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \}[/math]. Aqui temos um exemplo de representação de conjuntos por:

4 / 7

4) Sejam os conjuntos [math] A = \{ x \in \mathbb {N} | \ 36 < x < 39 \}[/math], [math] B = \{ y \in \mathbb {N} | \ 103 < y < 104 \}[/math] e [math] C = \{ z \in \mathbb {N} | \ z > 543 \}[/math]; onde [math] x, \ y  [/math]  e  [math] \ z [/math] representam números pertencentes ao conjunto dos números naturais. Sendo assim, podemos afirmar que os conjuntos A, B e C mencionados poderão ser definidos respectivamente como conjuntos:

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5) Seja [math] A = \{ x \in \mathbb {N} | 8 < x < 9 \}[/math], onde [math] x [/math] é um número pertencente ao conjunto dos números naturais. Sendo assim, podemos afirmar que o conjunto A mencionado será definido como:

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6) Considere o conjunto universo [math] P = [/math] { países do continente africano}. Qual dos subconjuntos [math] S [/math] abaixo não contém pelo menos um elemento desse conjunto universo?

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7) Dados os conjuntos [math] A = \{\} [/math]; [math] B = \{2\} [/math] e [math] C = \{1,2,3, \dots\} [/math]. Podemos classificar cada um deles nesta ordem como:

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