As operações com Conjuntos

Aqui daremos continuidade a mais um conteúdo importantíssimo para a teoria dos conjuntos. Nesta etapa do conteúdo estudaremos as operações que costuma ser efetuadas com com conjuntos.

Quais são as operações com conjuntos?

Vamos conhecer agora as principais operações realizadas com conjuntos. São elas: união, intersecção, diferença e complementar.

União de conjuntos

União entre conjuntos

A união de dois ou mais conjuntos é a operação que determina um novo conjunto formado pelos elementos de um deles ou pelos elementos do outro. Na imagem acima, temos nitidamente a união de [math] M [/math] com [math] P [/math] destacada na cor azul.

Veja que o novo conjunto encontrado é formado pelos elementos de [math] M [/math] ou pelos elementos de [math] P [/math]. A representação por diagramas costuma ser muito útil nesses casos, já que facilita bastante a visualização e compreensão.

Se a opção fosse representar essa união por meio de uma propriedade, teríamos o seguinte:

União de conjuntos por uma propriedade

Veja como exige a nossa atenção e interpretação. Leia: A união de [math] M [/math] e [math] P [/math] é igual a um elemento [math] x [/math], sendo que, esse elemento pertence a [math] M [/math] ou pertence a [math] P [/math]. Ou seja, pertence a pelo menos um deles.

Exemplo prático: Sejam os conjuntos [math] M = \{ 3, 4, 5, 6 \} [/math] e [math] N = \{ 7, 8, 9 \} [/math]. O conjunto [math] M \cup N [/math] será dado por: [math] \{ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} [/math].

Intersecção de conjuntos

Intersecção de conjuntos

A intersecção de dois ou mais conjuntos é a operação que determina um novo conjunto, formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a esses dois ou outros conjuntos em questão.

Na imagem acima, mais uma vez utilizamos diagramas para dar clareza ao que estamos falando. Observe em destaque na cor azul mais escuro, a região de intersecção. Veja que ela pertencente aos dois conjuntos. Ocorreria da mesma forma se tivessem três ou mais conjuntos.

Operação intersecção
Intersecção dos conjuntos A, B e C

Quando não houver de forma alguma elementos na intersecção, ou seja, o resultado for o conjunto vazio, esses conjuntos serão chamados de conjuntos disjuntos ou mutuamente exclusivos.

Operação intersecção
Conjuntos A e B disjuntos

Se fosse feita a representação por uma propriedade, o conjunto intersecção ficaria da seguinte forma:

Intersecção de conjuntos por uma propriedade

Leia: A intersecção de [math] M [/math] e [math] P [/math] é igual a um elemento [math] x [/math], sendo que, esse elemento pertence a [math] M [/math] e a [math] P [/math] simultaneamente.

Exemplo prático: Sejam os conjuntos [math] M = \{ 3, 4, 5, 6 \} [/math] e [math] N = \{ 5, 6, 7, 8, 9 \} [/math]. O conjunto [math] M \cap N [/math] será dado por: [math] \{ 5, 6 \} [/math].

Diferença de conjuntos

Diferença entre conjuntos

Diferença de dois conjuntos é a operação que determina um novo conjunto formado pelos elementos pertencentes a um deles e não ao outro.

Observe novamente nos diagramas a região destacada em azul mais escuro. Perceba que o novo conjunto formado possui somente elementos que de forma alguma poderiam estar no outro.

A representação por propriedade seria assim:

Diferença de conjuntos por uma propriedade

Leia: A diferença de [math] M [/math] e [math] P [/math] é igual a um elemento [math] x [/math], sendo que, esse elemento deve pertencer a [math] M [/math] e não pode pertencer a [math] P [/math].

Exemplo prático: Sejam os conjuntos [math] M = \{ 4, 5, 6, 7 \} [/math] e [math] N = \{ 5, 6, 7, 8, 9 \} [/math]. O conjunto [math] M – N [/math] será dado por: [math] \{ 4 \} [/math].

Complementar de um conjunto

Conjunto complementar
Complementar de M em P

O complementar de dois ou mais conjuntos é a operação que determina um novo conjunto formado pelos elementos que faltam para a um deles se igualar ao outro.

Esta operação só ocorre quando um conjunto está totalmente contido no outro. A representação por propriedade seria assim: 

Representação por propriedade

Leia: O complementar de [math] M [/math] em [math] P [/math] é igual a um elemento [math] x [/math], sendo que, esse elemento deve pertencer a [math] P [/math] e não pode pertencer a [math] M [/math].

Ou seja, o complementar de [math] M [/math] em [math] P [/math], nada mais é que o conjunto [math] P - M [/math].

Subconjuntos e conjunto das partes

Qualquer novo conjunto formado por partes de um anterior será chamado subconjunto. Vamos exemplificar.

Tomamos o conjunto [math] D = \{ 20, 21, 22, 23, 24 \} [/math]. Podemos formar diversos subconjuntos a partir dele. Exemplos: [math] A = \{ 20 \} [/math], [math] B = \{ 20, 21 \} [/math], [math] C = \{ 20, 21, 24 \} [/math], [math] E = \{ 24 \} [/math], etc.

Chamamos de conjunto das partes  ao conjunto formado por todos os subconjuntos possíveis de um conjunto determinado. Com exemplos tudo fica mais fácil, veja:

Seja [math] R [/math] o conjunto formado por [math] \{ 3, 4, 5 \} [/math] o conjunto [math] P [/math] das partes de [math] R [/math] será formado por:

[math] P = [\emptyset, \{ 3 \}, \{ 4 \}, \{ 5 \}, \{ 3, 4 \}, \{ 3, 5 \}, \{ 4, 5 \}, \{ 3, 4, 5 \}] [/math]

Vamos as condições:

  • Utilizamos colchetes para representar o conjunto [math] P [/math] (também poderia ser parênteses)
  • As representam chaves os diversos subconjuntos de [math] P [/math]
  • Os elementos (subconjuntos) não se repetem.
  • O conjunto vazio foi apresentado como primeiro elemento do conjunto.
  • O próprio conjunto é tratado como subconjunto de si mesmo. Como pode ser visto, foi o último "elemento" adicionado.

Tomando o conjunto [math] D [/math] usado anteriormente, veja como ficaria o seu conjunto das partes:

[math] P = [\emptyset, \{ 20 \}, \{ 21 \}, \{ 22 \}, \{ 23 \}, \{ 24 \}, \{ 20, 21 \}, \{ 20, 22 \}, \{ 20, 23 \}, \{ 20, 24 \}, \{ 21, 22 \}, \{ 21, 23 \},[/math] [math] \{ 21, 24 \}, \{ 22, 23 \}, \{ 22, 24 \}, \{ 23, 24 \}, \{ 20, 21, 22 \}, \{ 20, 21, 23 \} , \{ 20, 21, 24 \}, \{ 20, 22, 23 \}, [/math] [math] \{ 20, 22, 24 \}, \{ 20, 23, 24 \}, \{ 21, 22, 23 \}, \{ 21, 22, 24 \}, \{ 21, 23, 24 \}, \{ 22, 23, 24 \}, \{ 20, 21, 22, 23 \}, [/math] [math] \{ 20, 21, 22, 24 \}, \{ 20, 21, 23, 24 \}, \{ 20, 22, 23, 24 \}, \{ 21, 22, 23, 24 \}, \{ 20, 21, 22, 23, 24 \}] [/math]

É possível identificar o total de subconjuntos necessários para formar o conjunto das partes através de uma fórmula simples: [math] 2^ {n} [/math]

Onde [math] n [/math] representa a quantidade de elementos do conjunto.

Para o nosso primeiro exemplo, o conjunto [math] R [/math] formado por três elementos, encontramos um total de [math] 2^ {3} = 8 [/math] subconjuntos necessários para formar o seu conjunto das partes.

Já para o conjunto [math] D [/math], composto por cinco elementos, foram escritos um total de [math] 2^ {5} = 32 [/math] subconjuntos como pode ser visto.

E ai? O que achou desses tópicos? Tranquilos? Mais uma vez, no caso de ainda existir alguma dúvida, recomendo a visualização do vídeo abaixo e inscrição em nosso canal para reforçar e complementar este conteúdo.

 

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"Não existe transformação sem aprendizado e conhecimento."

Aristóteles

1) Dados os conjuntos [math] A \ \cup \ B = \{ 4, 3, 2, 1 \} [/math]; [math] A - B = \{ 2, 3 \} [/math] e [math] A \ \cap \ B = \{ 1 \} [/math]. Pode-se afirmar que conjunto [math] B [/math] é formado por:

2) Sendo [math] R = \{ 10,11, 12, 13, 14 \} [/math] e [math] S = \{ 12, 13, 14 \} [/math]; o complementar de [math] S [/math] em [math] R [/math] será o conjunto:

3) Seja [math] P [/math] o conjunto das partes de um conjunto [math] B [/math] formado pelos seguintes elementos: [math] [\emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 1,2 \}] [/math]. Nesse caso, podemos afirmar que o conjunto [math] B [/math] será igual a:

4) Sabendo que um determinado conjunto [math] R [/math] possui [math] 5 [/math] elementos, a quantidade de subconjuntos necessários para formar o conjunto das partes deste conjunto [math] R [/math] será exatamente igual a:

5) Seja [math] A = \{ 31, 32, 33, 34, 35 \} [/math]; [math] B = \{ 34, 35, 36, 37 \} [/math] e [math] C = \{ 32, 33, 34 \} [/math]. O conjunto [math] A \ \cap \ B \ \cap \ C [/math] será?

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