O princípio Multiplicativo
Quando estudamos as equações do 1º grau, falamos rapidamente sobre o princípio multiplicativo que diz o seguinte:
Em toda igualdade se multiplicarmos ou dividirmos um mesmo número em ambos os lados (membros) de uma equação, o resultado não se altera.
Observação: Este princípio não se aplica ao número zero pois, o mesmo não pode estar presente no denominador de uma divisão. Como aprendemos em divisão de números naturais.
Vamos então a alguns exemplos com esse princípio para facilitar o seu entendimento.
Princípio multiplicativo - Exemplo 1
Seja a equação:
Precisamos eliminar o número 4 que multiplica a letra [math] x [/math]. Nesse caso vamos multiplicar ambos os termos pelo número racional 1/4 para conseguir isso.
Resolvemos as multiplicações como aprendemos em multiplicação de números racionais e obtemos.
Agora efetuamos as divisões em ambos os membros assim:
E finalmente chegamos ao resultado.
Agora vamos ver mais um exemplo do uso do princípio multiplicativo.
Princípio multiplicativo - Exemplo 2
Vamos resolver a seguinte equação.
Para este exemplo, vamos aplicar os dois princípios, o aditivo e o multiplicativo para encontrarmos o valor da incógnita [math] x [/math]. Primeiramente vamos usar o princípio aditivo para termos apenas um termo com a incógnita em um dos membros da equação. Veja:
No item anterior, adicionamos o termo algébrico [math] (- \ 2x) [/math] para alcançar o nosso primeiro objetivo. Lembre-se que este termo nada mais é que o produto do número inteiro [math] - \ 2 [/math] pela incógnita [math] x [/math] que é outro número desconhecido. (Veja mais sobre isso em expressões algébricas). Daí a possibilidade de tal multiplicação.
Com isso chegamos ao seguinte resultado parcial.
Continuamos a aplicar o princípio aditivo para obtermos apenas um número inteiro no lado direito da equação. Para isso adicionamos o inteiro [math] - \ 3 [/math] em ambos os membros.
Manipulando os cálculos como aprendemos em adição e subtração de números inteiros, chegamos a mais um resultado parcial.
Como não temos mais somas ou subtrações, apenas o sinal do número inteiro, vamos utilizar o princípio multiplicativo para ficarmos apenas com a incógnita [math] x [/math] em um dos lados da equação. Lembre-se esse será sempre o objetivo principal de toda equação.
Então começamos multiplicando 1/3 em ambos os lados.
Agora efetuamos as multiplicações ou divisões que se encontram.
E assim finalmente chegamos ao resultado final.
Utilizando métodos práticos
Assim como foi aplicado quando estudamos o princípio aditivo, podemos utilizar alguns métodos que otimizam e agilizam alguns cálculos durante a resolução da equação do 1º grau.
Vamos calcular novamente as equações dos exemplos acima aplicando esses métodos. Seja novamente a equação:
Aqui vamos utilizar o seguinte raciocínio:
O número ou termo que mudar de lado terá a operação invertida.
Bem temos o inteiro [math] 4 [/math] multiplicando a variável [math] x [/math]. Como queremos eliminá-lo do lado esquerdo da equação, vamos posicioná-lo do outro lado (o direito) só que dividindo pelo elemento que se ali se encontra. Observe:
E finalmente efetuando a divisão, encontramos o mesmo resultado encontrado quando resolvemos o exemplo 1.
Economizamos algumas linhas mas mentalmente o princípio multiplicativo continua sendo aplicado. O caminho trilhado aqui nos deu um ganho considerável de tempo e isso faz bastante diferença quando precisamos de resultados rápidos.
Pois essa é a diferença. Enquanto em um caminho você consegue entender o que realmente acontece dentro da resolução da equação no sentido lógico, no outro você ganha apenas velocidade na resolução.
Os dois processos podem ser utilizados no momento que bem desejar. Vamos resolver o segundo exemplo para fixar o processo.
Começamos separando os termos com variáveis dos que não tem variável. Lembre-se que nesta etapa p item que mudar de lado terá o seu sinal trocado.
Efetuando as contas em cada lado obtemos.
Agora basta posicionar o inteiro [math] 3 [/math] do outro lado dividindo [math] + \ 6 [/math].
Enfim terminamos encontrando o resultado final.
Agora que tal praticar um pouco?
"Toda ação humana, quer se torne positiva ou negativa, precisa depender de motivação."
Dalai Lama
1) Encontre o valor da variável y para a equação [math] 3x + 4 = x - 8 [/math] ; sendo [math] U = \mathbb {R} [/math]. Utilize o princípio multiplicativo.
2) Encontre o conjunto solução para a equação [math] 2x - 8 = 16 [/math] ; sendo [math] U = \mathbb {Z} [/math]. Utilize o método prático.
3) Encontre o conjunto solução para a equação [math] 5x - 37 = - 77 [/math] ; sendo [math] U = \mathbb {Q} [/math]. Utilize o princípio multiplicativo.
4) O valor da incógnita na equação [math] 218x + 346 = 564 [/math] no conjunto universo dos números reais será igual a:
5) Resolva a equação [math] - 4b + 6b - 14 = 7b - 3b - 4 [/math] para [math] b \in \mathbb {Ν} [/math]
