As sequências recursivas

Sequências recursivas - cachorrinhos

Já ouviu falar das sequências recursivas? Bem se não, então vou pedir que preste bastante atenção na imagem acima. O que mais chamou a sua atenção? Seria a seta indicando como foram posicionados os balões de cachorrinhos coloridos? Ou seria o posicionamento intercalado das cores amarelo e verde? Ou ainda o fato de todos serem do mesmo tamanho?

Tudo isso é relevante uma vez que fica evidente que temos a nossa frente algum tipo de sequência. Veja que neste caso, conseguimos com muita facilidade descobrir o próximo elemento que deverá ser colocado no lugar do ponto de interrogação. Sem nenhuma dúvida você respondeu que será um balão de cachorrinho amarelo olhando para a esquerda! Ou não?

Certamente percebeu também que não basta só posicionar o cachorrinho amarelo. Seu rosto deve acompanhar o padrão que foi estabelecido para os demais amarelos. Aí sim respondemos de forma correta a pergunta do próximo elemento. Em algumas sequências será necessário estar sempre atento a pequenos detalhes.

Este é um exemplo típico do que vem a ser uma sequência recursiva. Agora sabendo disso, vamos então explorar um pouco mais.

Mas é só isso?

Sequências recursivas são aquelas que para serem formadas, sempre vão depender de algum termo anterior para a determinação do próximo. Sim, de forma bem básica seria só isso mesmo. Essa é a explicação mais simplificada do que vem a ser uma sequência recursiva. Os detalhes como, cor tamanho e direção foram importantes apenas para determinar o padrão. 

Em outras palavras, para serem construídas, essas sequências sempre terão a necessidade de um recurso, ou seja, um ou mais itens (termos) anteriores que vão determinar sucessivamente, cada novo elemento.

Um belo exemplo deste tipo de sequência na matemática é a sequência de Fibonacci. Nela fica evidente que só conseguimos identificar o próximo elemento se soubermos o valor do anterior. Vamos estudá-la agora em detalhes.

A famosa sequência de Fibonacci

Observe a seguinte sequência numérica:

[math](0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)[/math]

Esta sequência se chama Fibonacci em homenagem ao matemático italiano Leonardo da Vinci que recebia este apelido. Ela surgiu da observação de Fibonacci ao crescimento de uma população de coelhos.

Nesta sequência ele considerou que cada número representasse um casal. Todo casal a partir do segundo mês iniciava a reprodução dando a luz a um novo casal. Por isso o número um aparece duas vezes no início da sequência. O casal ainda não estava na idade fértil para reprodução.

Depois considerou o seguinte: Uma vez iniciado o processo de  reprodução de um casal, ele jamais acabaria, ou seja, todos os meses esse mesmo casal reproduziria um novo casal.  Abaixo há uma ilustração explicando esse processo.

Sequência de Fibonacci - sequências

No terceiro mês, o casal de coelhos de cor preta entrou em idade fértil e gerou um novo casal de cor verde. No quarto mês, como o casal verde ainda não esta em idade fértil não reproduz. Pelo contrário, o casal preto gera mais uma vez um novo casal de coelhos, desta vez de cor vermelha.

Quando chegamos ao quinto mês o ciclo se repete, o casal vermelho ainda não pode se reproduzir. Porém, os casais preto e vermelho geram cada um, casais de coelhos azuis. Assim segue a sequência com esse processo se repetindo infinitamente.

Vale ressaltar que Fibonacci considerou essa situação fictícia. Ele considerou que nenhum coelho morreria. Sabemos que não é assim que acontece com coelhos na realidade.

Muitas são as aplicações e descobertas sobre a sequência de Fibonacci. Nesta outra imagem abaixo, cada número da sequência representa o lado de um quadrado. Veja que começamos com dois quadrados menores de lado um e depois temos outro um pouco maior de lado dois, ai vem outro de lado três, outro de lado cinco e assim segue. Por cada quadrado que é colocado traça-se uma linha curva. Ao final com a união de todas elas, temos uma linha chamada espiral de Fibonacci.  

Sequência de Fibonacci - sequências
Imagem gráfica da sequência de Fibonacci

No caso da sequência de Fibonacci apresentada, temos uma sequência iniciada pelo termo  [math] a_ {0}[/math] que representa posição do item. Se você tiver alguma dificuldade em entender esta representação algébrica acesse por favor a página sequências para tirar todas as dúvidas.

Algumas sequências costumam ser iniciadas dessa forma. Quando isto ocorrer você deve ter uma atenção um pouquinho maior pois, a posição do elemento muda na sequência. Um elemento que tiver [math] n [/math] valendo quatro por exemplo, estará ocupando a quinta posição, e não a quarta.

Assim temos:

Lei de formação - sequência de Fibonacci

Veja a dependência de cada item para a descoberta do seguinte. Observe que a última linha mostra a lei de formação da sequência. A partir dela, também ocorre uma facilidade para encontrar outros elementos da sequência.

Mais exemplos de sequências recursivas.

Vamos para mais um exemplo de formação da uma sequência recursiva. Dessa vez vamos declarar alguns termos antes. São eles: [math] a_ {1} = 5 [/math] , [math] a_ {2} = 9 [/math] e [math] a_ {3} = 13 [/math] para uma sequência infinita.

Escrevendo a sequência temos [math] (5, 9, 13, ...) [/math]. É necessário descobrir qual será o próximo número na sequência. E ai? Você consegue identificá-lo assim de imediato?  Para não haver erros, primeiro identificamos se há algum padrão existente. Feito isso, vamos ver se para encontrar o próximo número há a necessidade dos anteriores. Fazendo a diferença entre o segundo e o primeiro [math] (9 - 5) [/math] encontramos [math] 4 [/math]. Da mesma forma fazendo a diferença entre o terceiro e o segundo [math] (13 - 9) [/math] encontramos [math] 4 [/math]. 

Esse é o padrão encontrado. A diferença entre um termo e o seu anterior sempre resulta [math] 4 [/math].

Podemos também pensar de outro modo dizendo que a partir do primeiro termo, para encontrarmos o seguinte, basta somarmos quatro. Agora facilmente montamos nossa sequência recursiva e sua lei de formação.

Lei de formação de sequências - sequência numérica

Certamente o próximo termo na sequência será o número [math]17 [/math], depois [math] 21 [/math] e assim por diante. Aqui do mesmo modo, a expressão [math] a_{n} = a_{n-1} + 4 [/math] com as devidas restrições para [math] n [/math] na última linha representa a lei que determina a formação da sequência.

Agora é hora de praticar um pouco!

"A física é a poesia da natureza. A matemática, o idioma.”

Antonio Gomes Lacerda

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Preparado para praticar? Tome papel e caneta se achar necessário, responda calmamente mas, fique atento ao tempo!

Tempo encerrado!


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Exercícios sobre sequências recursivas

Atenção!

Você terá um tempo máximo de 5 minutos para responder este questionário!

tail spin

1 / 10

1) A lei responsável pela formação da sequência recursiva dada por [math] (951, 912, 873, 834, ...) [/math] é exatamente?

2 / 10

2) Os quatro primeiros elementos da sequência numérica recursiva, cuja lei de formação é dada por [math]a_ {n} = a_ {n-1} - 13 [/math], onde [math] n \in \mathbb {N} [/math], [math] a_ {1} = 49 [/math] e [math] n \geq 1 [/math] são exatamente?

3 / 10

3) Sabendo que uma sequência recursiva [math] S = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, ...) [/math] é formada a partir da lei [math] a_ {n} = 2(n - 1) + 3(a_ {n - 1}) [/math], onde [math] n \in \mathbb {N} [/math], [math] a_ {1} = 17 [/math] e [math] n \geq 2 [/math]. Desse modo, podemos afirmar que o elemento [math] a_ {5} [/math] dessa sequência será exatamente o número:

4 / 10

4) Sabendo que [math] a_ {1 } = 9, a_ {2} = 13 [/math] e [math] a_ {3} = 17 [/math] podemos afirmar que o elemento [math] a_ {7} [/math] dessa sequencia será?

5 / 10

5) Um médico receitou uma medicação a um paciente com dosagem de 4h em 4h. Se este paciente tomar essa medicação as 7h da manhã, o segundo horário da noite que ele irá se medicar novamente será?

6 / 10

6) A lei responsável pela formação da sequência recursiva dada por [math] (7851, 8408, 8955, ...) [/math] é exatamente?

7 / 10

7) Seja uma sequência recursiva [math] R = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, ...) [/math] formada a partir da lei [math] a_ {n + 1} = 5(n + 1) + (a_ {n}) [/math], onde [math] n \in \mathbb {N} [/math], [math] a_ {1} = 79 [/math] e [math] n \geq 1 [/math]. Desse modo, podemos afirmar que o elemento [math] a_ {8} [/math], ou seja, o oitavo termo dessa sequência será o número:

8 / 10

8) Os cinco primeiros termos da sequência numérica recursiva, cuja lei de formação é dada por  [math] a_ {n + 1} = a_ {n} - 2 [/math], onde [math] n \in \mathbb {N} [/math], [math] a_ {1} = 6 [/math] e [math] n \geq 1 [/math] são?

9 / 10

9) Seja a sequência [math] C = (5, 25, 125, 625, ...) [/math]. Ela pode ser classificada como uma sequência recursiva? 

10 / 10

10) Sabendo que [math] a_ {1} = 12, a_ {2} = 19 [/math] e [math] a_ {3} = 26 [/math] podemos afirmar que o elemento [math] a_ {15} [/math] dessa sequencia será? 

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