Operações com ângulos

(adição)

Chegou o momento de aprender um pouco mais sobre o sistema sexagesimal, conhecer algumas operações (começaremos com a soma de ângulos) e saber o que é a bissetriz de um ângulo.

Introdução

Pilotos utilizando soma de ângulos

Uma vez em uma aeronave, uma dupla de pilotos precisava seguir a seguinte instrução no manual de voo.

Vocês se encontram a [math] 42 ^{°} 19 ^{'} 38 ^{"}[/math] latitude norte e [math] 72 ^{°} 34 ^{'} 55 ^{"}[/math] longitude oeste. Para chegar ao seu destino deverão somar a essas coordenadas respectivamente [math] 22 ^{°} 09 ^{'} 15 ^{"}[/math] latitude norte e [math] 28 ^{°} 13 ^{'} 21 ^{"}[/math] longitude oeste.

Quais as coordenadas do destino para os pilotos? Ao final desta página você será capaz de efetuar este tipo de cálculo sem problemas. Antes vamos conhecer alguns assuntos importantes.

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo é a reta que divide o ângulo exatamente ao meio, ou seja em duas partes iguais.

Bissetriz em operações com ângulos

Na figura acima o segmento [math] \overline {OD} [/math] foi destacado como sendo uma bissetriz. Como consequência disso, ele dividiu o ângulo [math] A \widehat {O} B [/math] em dois ângulos iguais de medida [math] \alpha [/math].

Sistema sexagesimal

A unidade de medida mais utilizada nos dias atuais para medir ângulos chama-se grau. O símbolo que representa esta unidade é o seguinte: ( º )

Este símbolo sempre será posicionado logo acima do número que representará a amplitude.

Os ângulos não possuem medidas inteiras, possuindo então submúltiplos. Eles serão chamados de minuto ( ' ) e o segundo ( " ).

Assim temos as seguintes equivalências:

[math] 1 ^{°} \longrightarrow 60 ^{'}[/math]

[math] 1 ^{'} \longrightarrow 60 ^{"} [/math]

Cuidado aqui pois, apesar da semelhança, não estamos falando do minuto e segundo submúltiplos da hora como vimos em medidas de tempo. A representação nesse caso é bem diferente.  Temos então o minuto e segundo para a hora e o minuto e segundo para ângulos.

É importante recordar que a medida de 1º (um grau) equivale a [math] \frac {1} {360} [/math] de uma volta completa na circunferência.

Agora com o entendimento do que é uma bissetriz de um ângulo e as equivalências no sistema sexagesimal para ângulos, podemos começar a realizar cálculos. 

Operações com ângulos

 

É bem simples operar com ângulos e seus submúltiplos. Devemos calcular normalmente cada unidade separada, por exemplo, grau com grau; minutos com minutos e segundos com segundos

Após efetuados os cálculos, se possível, efetuamos conversões aplicando as equivalências mencionadas anteriormente. Vejamos cada uma delas agora com exemplos.

Adição de ângulos

 Vamos começar efetuando a soma de alguns ângulos. Observe a figura abaixo.

Operação soma de ângulos

Nela temos três ângulos, são eles: [math] F  \widehat {O} G [/math], [math] G \widehat {O} H [/math] e [math] H \widehat {O} E [/math] com as respectivas medidas [math] m (F \widehat {O} G) = 20 ^{°} 15 ^{'} 25 ^{"} [/math], [math] m (G \widehat {O} H) = 18 ^{°} 07 ^{'} 08 ^{"} [/math] e [math] m (H \widehat {O} E) = 32 ^{°} 29 ^{'} 17 ^{"} [/math].

Começamos posicionando múltiplo e submúltiplos semelhantes um abaixo do outro.

     [math] 20 ^{°} 15 ^{'} 25 ^{"}[/math]

    [math] 18 ^{°} 07 ^{'} 08 ^{"}[/math]

[math] \underline {+ \ 32 ^{°} 29 ^{'} 17 ^{"}}[/math]

 

Agora efetuamos as somas unidade por unidade.

     [math] 20 ^{°} 15 ^{'} 25 ^{"}[/math]

    [math] 18 ^{°} 07 ^{'} 08 ^{"}[/math]

[math] \underline {+ \ 32 ^{°} 29 ^{'} 17 ^{"}}[/math]

    [math]  70 ^{°} 51 ^{'} 50 ^{"}[/math]

 

Vamos a mais um exemplo com a adição. Dessa vez, vamos efetuar a soma de ângulos na imagem abaixo.

adição de ângulos com conversão

Adotaremos o mesmo procedimento de colocar as unidades semelhantes uma acima da outra.

     [math] 95 ^{°} 26 ^{'} 48 ^{"}[/math]

[math] \underline {+\ 49 ^{°} 34 ^{'} 57 ^{"}}[/math]

Como fizemos no primeiro exemplo, somando unidade com unidade encontramos:

     [math] 95 ^{°} 26 ^{'} 48 ^{"}[/math]

[math] \underline {+\ 49 ^{°} 34 ^{'} 57 ^{"}}[/math]

    [math] 144 ^{°} 60 ^{'} 105 ^{"}[/math]

Será necessário dar continuidade com a soma de ângulos pois, os submúltiplos apareceram com valores iguais ou maiores que 60. Logo, vamos converter cada unidade começando pelos segundos.

Se [math] 60 ^{"} \longrightarrow 1 ^{'} [/math]

então [math] 105 ^{"} \div  60 = 01^{'} 45^{"} [/math]

   [math] 144 ^{°} 60 ^{'} 00 ^{"}[/math]

[math] \underline {+ \ 00 ^{°} 01 ^{'} 45 ^{"}}[/math]

  [math]  144 ^{°} 61 ^{'} 45 ^{"}[/math]

Observe que mudamos [math] 105 ^{"} [/math] para [math] 00 ^{"} [/math] para ficar mais visível a conversão. O mesmo fazemos ao converter os [math] 60 ^{'} [/math]. Juntamos o [math] 1 ^{'} [/math] encontrados nos segundos pelo cálculo anterior e efetuamos então a divisão de [math] 61 ^{'} [/math] por 60 novamente.

Se [math] 60 ^{'} \longrightarrow 1 ^{°}[/math]

então [math] 61 ^{'} \div  60 = 01^{°} 01^{'} [/math]

   [math] 144 ^{°} 00 ^{'} 45 ^{"}[/math]

[math] \underline {+ \ 01 ^{°} 01 ^{'} 00 ^{"}} [/math]

  [math] 145 ^{°} 01 ^{'} 45 ^{"}[/math]

Por fim, depois de todas as somas e conversões, encontramos o resultado final. 

Retomando o problema da soma de ângulos

Lembra do nosso problema inicial? Então agora como tinha dito, poderemos encontrar a solução tranquilamente. Portanto vamos somar! Começaremos pelas latitudes:

   [math] 42 ^{°} 19 ^{'} 38 ^{"}[/math]

[math] \underline {+\ 22 ^{°} 09 ^{'} 15 ^{"}} [/math]

  [math] 64 ^{°} 28 ^{'} 53 ^{"}[/math]

No caso da soma das latitudes não precisou efetuar nenhuma conversão. Vamos então somar as longitudes:

   [math] 72 ^{°} 34 ^{'} 55 ^{"}[/math]

[math] \underline {+\ 28 ^{°} 13 ^{'} 21 ^{"}} [/math]

  [math] 100 ^{°} 47 ^{'} 76 ^{"}[/math]

Aqui precisamos converter os segundos já que o valor ficou acima de 60. Nesse caso:

Se [math] 60 ^{"} \longrightarrow 1 ^{'} [/math]

então [math] 76 ^{"} \div  60 = 01^{'} 16^{"} [/math]

E enfim somando encontramos:

   [math] 100 ^{°} 47 ^{'} 00 ^{"}[/math]

[math]\underline {+\ 00 ^{°} 01 ^{'} 16 ^{"}}[/math]

  [math] 100 ^{°} 48 ^{'} 16 ^{"}[/math]

Portanto os dois pilotos vão precisar seguir [math] 64 ^{°} 28 ^{'} 53 ^{"} [/math] latitude norte e [math] 100 ^{°} 48 ^{'} 16 ^{"} [/math] longitude sul para chegar corretamente ao destino.

Vamos praticar?

"A felicidade não é uma constante matemática, mas pode alcançar o infinito em um dado momento."

Fabrício Britto

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Preparado para praticar? Tome papel e caneta se achar necessário, responda calmamente mas, fique atento ao tempo!

Tempo encerrado!


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Exercícios sobre adição de ângulos

Atenção!

Você terá um tempo máximo de 5 minutos para responder este questionário!

tail spin

1 / 2

1) O resultado da soma dos ângulos [math] A \widehat {O} B [/math], [math] B \widehat {O} C [/math] e [math] C \widehat {O} D [/math] será igual a?

Exercício 1 - soma de ângulos

2 / 2

2) Efetue a soma dos seguintes ângulos: [math] 74 ^{°} 18 ^{'} 03 ^{"} \ + \ 42 ^{°} 22 ^{'} 57 ^{"}[/math]

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