Os Ângulos

Sem o estudo e conhecimento dos ângulos fica muito difícil aprender geometria. Consegue imaginar a presença deles no seu dia a dia? Olhe com atenção a sua volta! Acredite, estão por toda parte. Então vamos juntos explorar agora este tema surpreendente! 

Introdução

Os ângulos podem ser encontrados em diferentes lugares: na natureza, nas construções, bem como em muitas coisas que observamos e utilizamos no nosso cotidiano.

Mas afinal, o que são ângulos?

Ângulo é o nome dado a região entre duas semirretas que partem de uma mesma origem.

ângulo

Notação matemática de ângulos

O ponto comum aos dois lados é o vértice desse ângulo. Este ponto será comumente representado por uma letra maiúscula do alfabeto ocidental (por se tratar de um ponto) acompanhado do acento circunflexo.

No caso da imagem abaixo, o vértice pode ser identificado como o ponto O.

ângulo AÔB

Cada lado do ângulo poderá ser escrito de acordo com a nomenclatura utilizada para representação de uma semirreta. Você já deve ter um conhecimento desta forma de representação mas se ainda não viu nada sobre esse assunto, pode acessar o tópico introdução a geometria plana que irá encontrar tudinho lá.

Na figura acima podemos identificar esses dois lados como a semirreta [math] \overrightarrow {OA} [/math] e a semirreta [math] \overrightarrow {OB} [/math].

Colocando essas duas semirretas e o vértice (origem de cada lado) num mesmo símbolo, a representação desse ângulo será escrita [math] A\hat{O}B [/math].

Observe atentamente que a origem dos lados fica posicionado no centro, entre os outros dois pontos e com um acento circunflexo acima para afirmar que se trata de um ângulo. Muita atenção pois, é  obrigatório esta forma de representação.

Amplitude de um ângulo

medida do ângulo

Comparando a imagem acima com a anterior, temos uma pequena mudança agora. Inserimos a letra grega alfa na região do ângulo para representar a sua amplitude ou medida.

A notação será a seguinte: [math] m (M\hat{O}N) = \alpha [/math]

Sistemas de medida de ângulos

Vamos falar agora dos dois sistemas utilizados para medir ângulos. É necessário ir se familiarizando com eles pois serão exigidos em muitos tópicos na matemática.

Sistema circular

 No Sistema Internacional de unidades, temos como unidade padrão de medida de ângulos o radiano.

Quando temos uma circunferência de raio de medida r como na figura ao lado e destacamos um de seus arcos, cujo comprimento também é igual a r, dizemos que esse arco tem o comprimento igual a 1 radiano (rad).

A consequência disso é que a medida do ângulo central (aqui representado pela letra grega α) tem a mesma medida do arco destacado. Assim, podemos afirmar que este ângulo também possui a medida de 1 radiano.

Formalmente definimos radiano como sendo a razão entre o arco de uma de circunferência e seu raio.

radiano de ângulos
grau de ângulos

Sistema sexagesimal

A unidade de medida mais utilizada nos dias atuais para medir ângulos chama-se grau. Seu uso facilita bastante a medição em diversas situações.

Durante muitos séculos, diversas civilizações antigas se utilizaram desta unidade para medir ângulos.

Os seus submúltiplos são o minuto ( ' ) e o segundo ("). Você poderá ter um entendimento mais aprofundado sobre as conversões e operações com o grau acessando o tema medidas de ângulo.

A medida de 1º (um grau) equivale a [math] \frac {1} {360} [/math] de uma volta completa na circunferência.

Relação entre radiano e grau

As unidades radiano e grau podem ser convertidas uma na outra. Para isso é necessário saber duas coisas:

1º) Saber que a fórmula que calcula o comprimento de uma circunferência é dada por C = 2πr.

2º) Saber também que uma volta completa na circunferência mede 360º.

Vamos agora a algumas conclusões.

Pela definição formal de radiano para um arco completo γ de uma circunferência temos o seguinte:

  [math] γ = [/math]  [math] \frac {C}{r} [/math]]

 [math]  γ = [/math]  [math] \frac {2πr}{r} [/math]

[math] γ = {2π} \ rad [/math]

Com isso concluímos:

 [math] 2π \ rad= 360^ {\circ} [/math]

[math] π \ rad= \frac {360^ {\circ}} {2} [/math]

[math] π \ rad= 180^ {\circ} [/math]

 

A partir dessa conclusão podemos converter qualquer ângulo entre as duas unidades.

Por exemplo, digamos que você queira converter 45º em radianos? Basta utilizar a fórmula [math] γ = \frac {α} {180} \cdot π [/math], onde [math] γ [/math] é a medida do ângulo em radianos e [math] \alpha [/math] é a medida dada em graus.

Veja:

 [math] γ = \frac {α} {180} \cdot π [/math]

 [math] γ = \frac {45} {180} \cdot π [/math]

Simplificando a fração 

 [math] γ = \frac {1} {4} \cdot π [/math]

 [math] γ = \frac {π} {4} rad [/math]

Como medir um ângulo?

Geralmente para medir os ângulos na matemática utilizamos o transferidor. Trata-se de um instrumento em círculo ou semicírculo que é dividido respectivamente em 360 ou 180 graus.

transferidor para medir ângulos
Exemplo de uso do transferidor
Transferidor de meia volta para medir ângulos.

Para usá-lo basta posicionar o centro do transferidor no local que será marcado como o vértice do ângulo e logo em seguida marcar a medida em graus desejada. Depois ligue esses pontos com a régua para determinar os lados ângulo. Instrumento realmente muito prático e fácil de manusear.

Outros instrumentos mais técnicos que auxiliam na medição de ângulos são o teodolito bastante utilizado na engenharia e o sextante utilizado na navegação náutica.

Teodolito para medir ângulos
utilização de um teodolito
Sextante para medição de ângulos
Sextante para navegação

Vamos praticar um pouco?

“Mesmo que a jornada seja lenta, abrir mão não acelera”

Anônimo

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Preparado para praticar? Tome papel e caneta se achar necessário, responda calmamente mas, fique atento ao tempo!

Tempo encerrado!


Criado por ec44eaedf37ee3f12237dbed2b745b41Descomplique a Matemática
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Exercícios sobre ângulos

Atenção!

Você terá um tempo máximo de 5 minutos para responder este questionário!

tail spin

1 / 5

1) Converta [math] \frac {π} {12} \ rad [/math] em graus.

2 / 5

2) Converta 30º em radianos.

3 / 5

3) Qual a forma correta de nomear o seguinte ângulo?

ângulo RTS

4 / 5

4) Como nomeamos o ângulo da imagem abaixo?

ângulo PQV

5 / 5

5) Convertendo 120º em radianos encontramos exatamente:

0%

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