Números primos

Chegou o grande momento de estudarmos os números primos. Vamos apreender suas características, pra que servem e também onde e como são utilizados.

Introdução

Análise dos números primos

Numa tarde nublada de Outono, as amigas Ayumi e Niara caminhavam pelos jardins do colégio onde estudavam. Em um certo momento, Niara indagou Ayumi sobre o último assunto abordado na aula de matemática já que havia faltado as últimas duas aulas.

- Fala ai Ayumi, estou preocupadíssima! Preciso pegar o último conteúdo da aula de matemática o mais rápido possível. Teria como me ajudar? 

- Vixi Niara, você ainda não pegou nada? O professor falou sobre os números primos sabia?

- Pois é, cheguei a ouvir o pessoal comentando. O que achou do assunto? Conteúdo muito difícil? Perguntou Niara.

- Olha Naira, eu particularmente achei tudo muito tranquilo. Ele explicou a teoria muito bem e até citou alguns exemplos de aplicação desses números.  Achei a abordagem bem legal. Posso te passar o resumo de tudo bem rapidinho, gostaria de ver agora?

- Claro, claro! Respondeu Naira sorridente.

- Então vamos sentar ali naquele banco que vou te explicar amiga!

Ayumi e Niara com números primos

- Então amiga o professor foi bem direto. Ele falou sobre a importância dos números primos, suas características e também fez um breve comentário sobre a utilização deles na matemática e no nosso dia a dia, disse Ayumi.

- Estou bastante ansiosa amiga, por favor vamos bem devagar passo a passo tudo bem? Por onde devemos começar? Respondeu Naira.

- Claro! Você verá que o assunto é bem tranquilo. Vamos começar pela definição de número primo.

Definição de números primos

Um número natural [math] P [/math] diferente de zero e de um, será classificado como número primo quando possuir como divisores somente o número [math] 1 [/math] e ele próprio.

Ou seja, as únicas divisões exatas (aquelas que possuem resto zero) que um número primo pode ter são [math] P \div 1 [/math] e [math] P \div P [/math]

Muita atenção neste ponto Niara. Veja que há a necessidade das duas divisões existirem e não somente uma delas. Se isto ocorrer, o número natural não será considerado número primo. É o que acontece com os números zero e um. Eles não podem ser números primos já que zero não pode ser divisor de um número natural (ver divisão de um número natural) e o número um só tem a si próprio como divisor.

Em outras palavras, também é possível dizer que um número natural [math] P [/math]  é dito primo quando não for possível escrevê-lo como o produto de dois números naturais [math] a [/math] e [math] b [/math] com [math] a > 1 [/math] e [math] b > 1 [/math].

Visto a definição acima, fica fácil identificar dentro deste conjunto os primeiros números primos que seriam os números [math] 2, 3, 5, 7, 11 … [/math]

- Bem tranquilo até Niara? Questionou Ayumi.

- Sim, respondeu Niara. Entendi perfeitamente o que determina se um número é ou não primo.

- Então quanto aos números que não forem classificados como números primos serão chamados de números compostos. Falaremos mais porque são chamados dessa forma mais a frente. Preciso comentar primeiro sobre um método bastante interessante que ele explicou para determinar alguns números primos.

Crivo de Eratóstenes

Olha Niara, o professor falou rapidamente sobre Eratóstenes. Contou que ele foi um excepcional matemático da Grécia antiga realizador de grandes descobertas. Chegou a ser considerado o segundo maior do mundo na época. É famoso por ter conseguido calcular o raio do nosso planeta e também determinou um método bastante eficaz para identificar números primos.

Este método pode ser facilmente utilizado na busca de números primos pequenos. Ele leva seu nome e é conhecido por crivo de Erastótenes. Vou exemplificá-lo buscando determinar quais são os números primos existentes de zero a cem.

Este método consiste em ir marcando em ordem, os números primos um a um juntamente com seus múltiplos. Desse modo, primeiro em uma tabela, escrevemos os números de [math] 2 [/math] a [math] 100 [/math]. Marcamos o número [math] 2 [/math] com um círculo já que é o primeiro número primo. Em seguida, marcamos com um X, todos os seus múltiplos que serão descartados. 

Números primos - Crivo de Eratóstenes - Múltiplos de 2

Repetimos todo o processo, sendo agora com o número [math] 3 [/math]. Perceba que alguns lá foram excluídos antes por também serem múltiplos de [math] 2 [/math]

Números primos - Crivo de Eratóstenes - Múltiplos de 3

Damos continuidade ao processo, marcando e excluindo dessa vez os múltiplos do próximo número primo o [math] 5 [/math] que ainda não foram marcados.

Números primos - Crivo de Eratóstenes - Múltiplos de 5

Ainda em continuidade com o nosso processo, precisamos continuar com a exclusão de múltiplos. Dessa vez faremos o próximo número primo, será o [math] 7 [/math].

Números primos - Crivo de Eratóstenes - Múltiplos de 7

Pronto! Chegamos ao final da nossa busca. Não precisaremos utilizar o próximo número primo, no caso o [math] 11 [/math] porque não há múltiplos dele a eliminar. Basta agora, formar o conjuntos dos números primos procurados.

Números primos 2 a 100 - Crivo de Eratóstenes - Resultado final

Usando o Crivo de Erástotenos, encontramos os seguintes números primos entre [math] 2 [/math] e [math] 100 [/math]:

[math] \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 57, 59, 61, 67, 71, 79, 83 , 89, 97\} [/math]

Teorema fundamental da aritmética

- Interessante a identificação de números primos utilizando o crivo de Eratóstenes não é mesmo Naira! - Indagou Ayumi

- Achei bem fácil Ayumi! Basta ter bastante atenção que não tem erro. 

- Pois é amiga mas, agora vamos falar também dos números que não são primos os chamados compostos. Para iniciar esse assunto o professor falou sobre um importante teorema descoberto na antiguidade pelos matemáticos. Este teorema diz o seguinte:

Todo número natural maior que [math] 1 [/math] ou é primo ou pode ser escrito de forma única, como um produto onde os fatores são todos números primos.

- Nossa Ayumi! Isso é uma descoberta incrível. Então pelo que entendi, os números primos são a verdadeira base de todos os números? Assim como as células formam os seres vivos? Que interessante isso! Estou muito surpresa. Comentou Niara.

- É amiga isso mesmo! E este teorema já era sabido por muitos estudiosos na Grécia antiga conhecidos por pitagóricos. É demonstrado nas publicações dos livros de Euclides, outro grande matemático da época e mais tarde foi novamente demonstrado e corrigido por Gauss no século [math] XVI [/math].

- O TFA como costuma ser chamado é uma das mais poderosas ferramentas da matemática. Para um número composto ser escrito como um produto de fatores primos precisamos fazer a sua decomposição Niara. Todo o cálculo é realizado com o processo de decomposição em fatores primos.

Mais um conjunto infinito?

"Então Niara, mais uma curiosidade que o professor trouxe foi que o conjunto dos números primos é mais um conjunto infinito. Ele disse que essa afirmação foi provada por grandes matemáticos como Euclides, Dirichlet e Sierpinski. Disse que as demonstrações dessa afirmação serão mostradas em outro momento oportuno. Agora bastaria apenas saber que é verdadeira.

Com isso começou uma verdadeira corrida e surgiu muita curiosidade sobre como seria o próximo número primo e quem o encontraria. O maior número primo descoberto até o momento possui [math] 24.862.048 [/math] de dígitos e só possível sua descoberta devido aos poderosos métodos computacionais da atualidade."

Mas porque a intensa pesquisa em descobrir números primos tão grandes? Existe uma verdadeira caçada em busca de novos números hoje em dia utilizando centenas ou até milhares de computadores interligados em todo o planeta. Bem, o que se sabe isso é que tudo começou a base de muita curiosidade mesmo assim como tantos outros assuntos da matemática. A evolução da internet e da Criptografia que fez tudo mudar. Isto porque se mostraram bastante úteis e eficientes para a codificação de dados.

A Criptografia que é a ciência de codificar e decodificar dados através de algoritmos, utiliza um método conhecido por RSA que se mostrou bastante eficaz com o uso dos números primos. Fazendo um rápido resumo, sabe-se que este método trabalha utilizando o produto de números primos muito grandes para gerar chaves de código.

Quanto maior forem esses números mais complexo e demorado se torna o processo de tentar decodificar os dados caso alguém que não possua a chave de acesso tente quebrar o código.

Este método futuramente será melhor explicado e aprofundado em outra página aqui mesmo no site, fiquem atentos.

Números esfênicos

" Uma outra curiosidade trazida por ele foi a definição dos chamados números esfênicos. Ele explicou que são todos os números formados pelo produto de três números primos distintos. Vejamos alguns exemplos

O número [math] 30 [/math] é um número esfênico pois [math] 30 = 2 \times 3 \times 5 [/math]. Este é primeiro número esfênico.

O número [math] 42 [/math] é um outro exemplo de número esfênico já que [math] 42 = 2 \times 3 \times 7 [/math].

Disse ainda que todos esses números possuem exatamente 8 divisores.

Como um número esfênico [math] N [/math] será formado pelo produto dos primos [math] x . y . z [/math] então o conjunto de seus divisores será formado por [math] \{ 1, x, y, z, xy, xz, yz, xyz \} [/math]."

Um aprendizado enriquecedor

Encerrando a aula de números primos

- Então Niara esse foi o resumo sobre os números primos. Como eu disse, o professor ficou de abordar ao logo do semestre mais conteúdo relacionado ao tema. Por enquanto é só isso mesmo, disse Ayumi.

- Amiga nem sei como lhe agradecer. Estou com uma plena sensação de alívio sabia. Olha, parabéns você explica muito bem! Disse Naira com um sorriso encantador.

- Ah que ótimo ouvir isso! Nesse caso amiga ficou ainda alguma dúvida sobre o assunto? 

- Não , não, nenhuma dúvida!

- Então agora vou lhe passar alguns exercícios que o professor passou e pediu para praticar bastante.

Esse mesmo problema seria ainda mais rapidamente resolvido com a ajuda de outras ferramentas que aprenderemos mais a frente. Por ora, vamos praticar um pouco mais para fixar o aprendizado.

Hora de praticar um pouco!

"Todas as coisas são números."

Pitágoras

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Preparado(a) para praticar? Tome papel e caneta se achar necessário, responda calmamente mas, fique atento ao tempo!

Tempo encerrado!


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Exercícios sobre números primos

Atenção!

Você terá um tempo máximo de 5 minutos para responder este questionário!

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1 / 3

1) O número [math] 113 [/math] pode ser classificado como:

2 / 3

2) Entre as alternativas abaixo, a única que apresenta apenas números primos é:

3 / 3

3) Três números primos localizados entre [math] 77 [/math] e [math] 120 [/math] seriam:

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