Os divisores
Os divisores, assim como os múltiplos, são ferramentas essenciais na resolução de diversos cálculos na matemática. Vamos aprender agora sobre eles.
Introdução
Carla é uma estudante dedicada. Adora aprender conteúdos novos principalmente de matemática.
Esta semana começou a aprender no colégio sobre os divisores de um número natural. Tudo estava correndo bem quando a professora apresentou um tópico dentro deste assunto que a deixou confusa: encontrar a quantidade de divisores de um número natural.
Ela queria entender melhor esse conceito, e foi quando sua mãe decidiu chamar a Sra. Martins, uma professora particular experiente, para ajudá-la.
A Sra. Martins apresentou a seguinte questão a Carla:
Então Carla, qual seria a expressão algébrica que representa a quantidade de divisores de um número natural, cuja fatoração é dada por [math] 2^ {x} . 7^ {y} . 11^ {z} = 154 [/math] ?
"Nossa professora! Essa questão é muito complexa", argumentou Carla.
"Não é não, vou te mostrar o quanto ela é simples de ser resolvida. Fique atenta a revisão do conteúdo e vou lhe mostrar como a resolução é bastante simples", respondeu a Sra. Martins.
Ao final deste conteúdo você certamente será capaz de responder questões como essa.
Divisores de um número natural
Vamos entender primeiro o que seria um divisor de um número pertencente ao conjunto [math] \mathbb {N} [/math].
Sejam [math] m [/math] e [math] n [/math] dois números naturais, com [math] n [/math] maior que zero. Dizemos que [math] n [/math] é divisor de [math] m [/math], se existir um número [math] k [/math], natural, tal que:
[math] m [/math] [math] \div [/math] [math] n [/math] [math] = [/math] [math] \ k [/math] e [math] r = 0 [/math]
Onde [math] r [/math] é o resto da divisão de [math] m [/math] por [math] n [/math].
Em outras palavras, se [math] n [/math] for um divisor natural de um número natural [math] m [/math] , então existe um número natural [math] k [/math] tal que [math] n [/math] [math] = [/math] [math] m [/math] [math] \times [/math] [math] k [/math]
Fica claro então que divisor é um número natural que divide outro número de maneira exata, sem proporcionar resto e o conjunto desses divisores nada mais é que o conjunto de todos os números que geram essas divisões exatas. Por exemplo, para obtermos o conjunto dos divisores do número [math] 12 [/math], buscamos todos os números que quando divididos por ele produzem divisões que sejam exatas.
Os divisores de [math] 12 [/math] então são: [math] 1, 2, 3, 4, 6 [/math] e o próprio [math] 12 [/math].
Notação do conjunto dos divisores de um número
Escrevemos o conjunto dos divisores de um número qualquer, utilizando a notação:
[math] D (n \acute{u} mero \ qualquer) = \{0, …\} [/math]
Onde [math] (n \acute {u} mero \ qualquer) [/math] se refere ao número [math] k [/math] que vai gerar os divisores e entre chaves um conjunto iniciado por um. Então a notação do conjunto dos divisores de [math] 6 [/math] será representada por:
[math] D(6) = \{1, 2, 3, 6 \} [/math]
Este tipo de representação já foi estudada aqui no site anteriormente. Caso não tenha visto ou precise recordar este assunto, pedimos que dê uma olhadinha na página conjuntos que consta tudo lá. Não deixe de dar uma revisada.
Me diga agora o que achou? Viu como foi simples? Vejamos então como seria a notação do conjunto dos disores de [math] 8 [/math].
[math] D(8) = \{1, 2, 4, 8 \} [/math]
Outros exemplos:
[math] D(9) = \{1, 3, 9 \} [/math]
[math] D(20) = \{1, 2, 4, 5, 10, 20 \} [/math]
[math] D(100) = \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100\} [/math]
O divisor de todo número
Uma fato importante a destacar é que existe um único número que é divisor de todo número. No conjunto dos divisores de um número natural, o número [math] 1 (um) [/math] que satisfaz essa condição. Quando organizados em ordem crescente de elementos será sempre o primeiro elemento do conjunto. todo número dividido por [math] 1 [/math] resulta o próprio número.
Veja os exemplos abaixo:
[math] 5 \div 1 = 5, [/math]
[math] 38 \div 1 = 38, [/math]
[math] 375 \div 1 = 375, [/math]
[math] 34.419 \div 1 = 34.419 [/math]
Um conjunto finito
Ao contrário dos múltiplos, o conjunto que apresenta todos os divisores de um número sempre será um conjunto finito.
De acordo com o que for solicitado, poderemos formar também vários subconjuntos dos divisores de um número natural.
Exemplo: Quais são os divisores de [math] 12 [/math] maiores que cinco e menores que dez ? A resposta será apenas uma parte dele.
A resposta é : [math] \{6\} [/math]
Mais um exemplo. Estando o conjunto dos divisores de 30 organizados em ordem crescente, quais são seus três últimos divisores?
Estando o conjunto organizado com mencionado ele seria representado da seguinte forma:
[math] D(30) = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \} [/math]
Como foi pedido os três últimos divisores, a resposta seria:
[math] \{10, 15, 30 \} [/math]
Quantidade de divisores de um número natural
Para descobrir a quantidade de divisores que um número natural [math] n [/math] possui, basta tomar sua fatoração em primos, e depois calcular o produto dos expoentes dos primos adicionados de [math] 1 [/math].
Por exemplo, quantos divisores possui o número [math] 154 [/math]?
Fatorando encontramos: [math] 154 = 2 \times 7 \times 11 [/math] que escrita como um produto de potencias se apresenta como [math] 2^ {1} \times 7^ {1} \times 11^{1} [/math].
Podemos observar que cada número primo possui o número 1 como expoente. Adicionando um a cada um deles e multiplicando essas somas temos: [math] (1+1) \times (1+1) \times (1+1) = 2 \times 2 \times 2 = 8 [/math] divisores.
São eles
[math] D (154) = {1, 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154 } [/math]
Propriedades dos divisores
Considere para todas as propriedades a seguir o conjunto [math] \mathbb {N} [/math].
1) Todo número natural é divisor de si mesmo e do número 1.
Esta é a principal propriedade dos divisores e basta notar que:
Por exemplo, [math] 8 \ \div 8 = 1 [/math]
[math] 8 \ \div 1 = 8 [/math]
2) Em um produto de fatores, um divisor de qualquer fator também se torna divisor do resultado.
Vejamos um exemplo para esta propriedade. Seja o produto [math] 8 \times 15 = 120 [/math].
Pela propriedade o divisor [math] 4 [/math] do fator [math] 8 [/math] também é um divisor de [math] 120 [/math].
Veja: [math] 120 \div 4 = 30 [/math].
Também pela propriedade, afirmamos que o divisor [math] 3 [/math] do fator [math] 15 [/math] também é um divisor do resultado [math] 120 [/math].
Veja: [math] 120 \div 3 = 40 [/math].
Novamente pela propriedade afirmamos agora que o divisor [math] 5 [/math] do fator [math] 15 [/math] também é um divisor do resultado [math] 120 [/math].
Veja: [math] 120 \div 5 = 24 [/math].
3) Se um número natural [math] N [/math] é divisor de dois outros números [math] A [/math] e [math] B [/math] , então também é divisor da soma e da diferença desses dois números.
Como mencionado, seja [math] 4 [/math] o divisor dos números [math] 16 [/math] e [math] 24 [/math].
É verdade que [math] 4 [/math] também é divisor do resultado da soma [math] 16 + 24 = 40 [/math] pois, [math] 40 \div 4 = 10 [/math].
É verdade que [math] 4 [/math] também é divisor do resultado da diferença [math] 24 - 16 = 8 [/math] pois, [math] 8 \div 4 = 2 [/math].
4) Em uma divisão em [math] \mathbb {N} [/math], os divisores comuns do dividendo e do divisor também são divisores do resto.
Por exemplo, seja a divisão [math] 36 \ \div 27 = 1 [/math] e resto [math] 9 [/math].
Pela propriedade mencionada, temos que [math] 3 [/math] é divisor comum de [math] 36 [/math] e [math] 27 [/math]. Daí conclui-se que [math] 3 [/math] também será divisor de [math] 9 [/math].
O que se confirma na divisão exata [math] 9 \ \div 3 = 3 [/math].
Outro exemplo: seja a divisão [math] 40 \ \div 15 = 30 [/math] e resto [math] 10 [/math].
Pela propriedade temos que [math] 5 [/math] é um divisor comum de [math] 40 [/math] e [math] 15 [/math]. Logo, também será um divisor de [math] 10 [/math].
O que se confirma na divisão exata [math] 10 \ \div 5 = 2 [/math].
5) Em uma divisão em [math] \mathbb {N} [/math], os divisores comuns ao divisor e ao resto também são divisores do dividendo.
Por exemplo: seja a divisão [math] 96 \ \div 28 = 3 [/math] e resto [math] 12 [/math] .
Pela propriedade temos que [math] 4 [/math] é divisor comum ao divisor [math] 28 [/math] e ao resto [math] 12 [/math]. Então, também será divisor do dividendo [math] 96 [/math].
O que se confirma na divisão exata [math] 96 \ \div 4 = 24 [/math].
Agora tudo ficou fácil!
"Sra. Martins depois de toda a explicação desse resumo acho que consigo resolver aquela questão", argumentou Clara.
"Com certeza Clara! Vamos lá mãos a massa! Me mostre seu raciocínio", respondeu a Sra. Martins.
"Pelo que foi explicado, a questão trata da quantidade de divisores de um número natural. Pelo que aprendemos, basta adicionar a unidade a cada expoente e escrever esse produto. A expressão procurada seria [math] (x +1) . (y+1) . (z+1) [/math]", continuou Clara."
"Muito bem Clara! Aqui só precisamos mostrar essa expressão e nada mais. Nenhum cálculo precisa ser feito".
São muitas as questões que envolvem a ferramenta divisores. Com o conteúdo que acabou de aprender, você esta apto para resolver várias delas. Já que chegamos a conclusão do tópico, agora é hora de praticar para fixar ainda mais o aprendizado.
