A decomposição em fatores primos

Na página que explica sobre os números primos, vimos um breve resumo do que é a decomposição em fatores primos.

Nesta página vamos falar um pouco mais sobre o assunto, recordando o teorema fundamental da aritmética, mostrando outras formas de realizar a decomposição e analisando uma situação prática envolvendo essa técnica.

Prepare-se para desvendar os segredos matemáticos por trás desse tema.

Introdução

Explorando a decomposição em fatores primos

Miguel e sua irmã Maia são arqueólogos e grandes aventureiros.

Um dia estavam em busca de um tesouro que supostamente encontrava-se escondido em uma antiga ruína.

Eles tinham em mãos uma carta antiga que continha os seguintes dizeres:

"Escolha um número e siga as pistas:

360  ou  840 ?

Você deve passar exatamente por três passagens, uma armadilha, uma sala secreta e atravessar uma porta maciça para encontrar o que procura

                                  ( 2 ) passagens escuras e estreitas

                                 ( 3 ) armadilhas ocultas

                                 ( 5 ) salas secretas

                                 ( 7 ) porta maciça"

Para desvendar esse enigma e encontrar o caminho para o suposto tesouro, Miguel e Maia precisavam fazer uma escolha entre dois números [math] 360 [/math] ou [math] 840 [/math].

Uma outra informação que não constava na carta mas, terminaram descobrindo por acaso era que,  caso entre os dois números escolhessem o errado, a ruína poderia ser fechada automaticamente.

Com isso, só poderiam retornar ali daqui uns [math] 10 [/math] anos.

Decifrar a sequência de números misteriosos que constava na mensagem intrigou os dois.

Ao analisar cautelosamente os números menores, viram que se tratavam de números primos.

Bastava então verificar o que tinham em comum com os dois maiores.

Neste momento recordaram das aulas de matemática que tiveram por vários anos com o professor Fabio.

Perceberam que para atingir o próximo passo, deveriam recordar as aulas onde o professor abordou a decomposição de um número em fatores primos. Estavam certos de que a solução do enigma estava ali.

Bem, ao final dessa página retomaremos este enigma e veremos qual dos dois números Miguel e Maia escolheram. Antes, vamos ver qual conteúdo precisaram recordar das aulas do professor Fabio.

Recordando o TFA

Quando estudamos os números primos, falamos sobre o TFA e a sua importância. Recordando o assunto, o TFA (Teorema Fundamental da Aritmética) diz o seguinte:

Todo número natural maior que [math] 1 [/math] ou é primo ou pode ser escrito de forma única, como um produto onde os fatores são todos números primos.

A partir desse teorema, definimos que todo número que não é primo será conhecido como número composto.

Os números compostos são divisíveis por pelo menos um fator além do [math] 1 [/math] e do próprio número. Isso significa que eles têm divisores adicionais.

Exemplo:  O número [math] 9 [/math] é um número composto porque possui além do [math] 1 [/math] e dele mesmo como divisores, também o número [math] 3 [/math].

Existe um número infinito de números compostos, pois podemos multiplicar dois ou mais números primos para obter um novo número composto.

Todos têm propriedades matemáticas interessantes, como a capacidade de serem fatorados, a existência de múltiplos divisores e a possibilidade de realizar operações aritméticas com eles.

Como foi mencionado, os números compostos podem ser expressos como um produto de dois ou mais fatores primos.

Por exemplo, o número [math] 24 [/math] é um número composto que pode ser decomposto em [math] 2 \times 2 \times 2 \times 3 [/math], onde [math] 2 [/math] e [math] 3 [/math] somente, são os fatores primos dessa decomposição.

Importante notar que cada número composto tem a sua decomposição e cada decomposição representa um único número composto. Isso nos traz um ideia de identidade única.

Vejamos quais são os métodos utilizados para encontrar esses fatores.

Crivo de Eratóstenes

Para expressar um número composto como um produto de números primos, primeiro precisamos conhecer quais são os números primos. Lembra do Crivo de Erástotenes?

Então, ele é uma ferramenta bem útil para encontrar uma quantidade pequena de números primos. Caso você não se lembre, apresentamos e explicamos como funciona na página números primos.

Se for seu caso, recomendamos dar uma passadinha lá e verificar antes de continuar por aqui. Abaixo mostramos os números primos que se encontram entre os números de [math] 1 [/math] a [math] 100 [/math].

[math] \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, [/math]

   [math] 47, 53, 57, 59, 61, 67, 71, 79, 83 , 89, 97\} [/math]

Método da árvore de fatores

A árvore de fatores nos ajuda a visualizar a decomposição em fatores primos de forma organizada e estruturada.

Cada ramo da árvore representa um fator primo e os números nos ramos são os resultados de divisões que vão se sucedendo.

Vamos exemplificar o processo usando o número [math] 90 [/math], vejam:

 

Árvore de fatores primos

Quando chegamos ao número [math] 1 [/math] não é mais possível realizar as divisões sucessivas,.

Olhando para os divisores usados podemos escrever a decomposição em fatores primos de [math] 90 [/math] da seguinte forma:

[math] 90 = 2 \times 3  \times  3 \times 5[/math]

Método das divisões sucessivas

Este é o processo mais comum e o mais prático utilizado para decompor um número composto em fatores primos.

É também conhecido por fatoração. É um procedimento bem prático mesmo veja:

Primeiro posicionamos o número composto ou mesmo primo que se quer fatorar do lado esquerdo de uma barra vertical. Vamos usar como exemplo o número [math] 18 [/math].

Do lado direito, posiciona-se o primeiro e menor número primo que é divisor deste número.

Atenção pois os números primos devem resultar divisões exatas. O número [math] 18 [/math] é múltiplo de [math] 2 [/math] portanto divisível por ele. Então poderá ser utilizado e será o primeiro número primo posicionado.

Efetuando a divisão encontramos o quociente [math] 9 [/math] e será colocado abaixo do número [math]18 [/math]. Agora ele se torna o novo número que devera ser dividido por um número primo.

Como não podemos mais utilizar o primo [math] 2 [/math] pois, não teríamos uma divisão exata, passamos para o próximo número primo, nesse caso o [math] 3 [/math] que é divisor de [math] 9 [/math].

Novamente a divisão é efetuada e o número [math] 3 [/math] é o quociente dessa nova divisão. Continuamos usando o [math] 3 [/math] como primo divisor e  o processo é finalizado quando o número [math] 1 [/math] aparecer do lado esquerdo da barra. 

Abaixo temos uma imagem dinâmica de todo o algoritmo, observe.

Exemplo de decomposição em fatores primos

Quando chegamos ao número [math] 1 [/math] não é mais possível realizar as divisões sucessivas.

Olhando para os divisores usados podemos escrever a decomposição em fatores primos de [math] 18 [/math] assim:

[math] 18 = 2 \times 3  \times  3 [/math]

Esta forma fatorada, poderia também ficar representada de forma simplificada que estaria correto. Isto é possível graças as propriedades da potenciação. Veja:

[math] 18 = 2 \times 3  \times  3 = 2 \times 3^{2} [/math]

Como valeu o aprendizado!

Solução de problema de decomposição em fatores primos

Voltando a história da busca pelo tesouro, Miguel e Maia recorreram ao professor Fabio e este se dispôs a ajudar.

Por ser mais prático, optaram pelo método de divisões sucessivas. Em seguida fatoraram cada um dos números como mostrado abaixo.

Decomposição em fatores primos - fatoração de dois números

Após cada decomposição associaram a do número [math] 840 [/math] ao caminho indicado na carta.

O produto [math] 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 [/math] nessa ordem coincidia exatamente com a pista dada.

Armados com esse conhecimento, Miguel, Maia e o professor Fabio navegaram pelas ruínas, enfrentando as passagens estreitas, evitando as armadilhas e descobrindo as salas secretas.

Eles finalmente chegaram à última porta, representada pelo fator primo [math] 7 [/math].

Ao abrir a porta, se depararam com uma imensa área livre onde encontraram uma marcação que indicava onde o tesouro estava enterrado.

E foi assim que os três completaram missão encontrando um baú que continha um relógio antigo de ouro.

Ficaram satisfeitos por solucionar o desafio e o professor muito orgulho de terem usado conhecimentos matemáticos.

Agora chegou a hora de você treinar um pouco. Esperamos que tenha ficado claro como funciona e como é aplicada a decomposição em fatores primos.

Hora de praticar um pouco!

"Cada dificuldade ultrapassada te faz mais forte."

Anônimo

 

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Preparado para praticar? Tome papel e caneta se achar necessário, responda calmamente mas, fique atento ao tempo!

Tempo encerrado!


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Exercícios sobre decomposição em fatores primos

Atenção!

Você terá um tempo máximo de 5 minutos para responder este questionário!

tail spin

1 / 4

1) Quando você decompõe [math] 440 [/math] em fatores primos, obtém [math] 2^ {x} \times 5 \times 11[/math]. Qual o valor de [math] x [/math]?

2 / 4

2) A forma fatorada [math] 2^ {2} \times 3^ {2} \times 5 [/math] se refere ao número?

3 / 4

3) A decomposição em fatores primos do número [math] 480 [/math] é exatamente igual a ?

4 / 4

4) Decompondo o número [math] 560 [/math] em fatores primos, obtemos [math] 2^ {4} \times 5 \times k [/math]. Qual é o fator que você deve colocar no lugar de [math] k [/math] para que a forma fatorada represente o número [math] 560 [/math]?

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