Os múltiplos
Você agora vai explorar os múltiplos. Um assunto muito importante que atua como uma importante base na matemática. Vamos aprender como e onde utilizados.
Introdução
Um certo dia, o menino Felipe estava com seu avô Geraldo e sua mãe Margarete fazendo sua lição de casa no chão sala como gostava de fazer. Sua mãe o acompanhava quando o avô bastante curioso com a concentração do menino, se aproximou perguntou.
- Felipe, qual seria essa lição?
- O menino reponde: Poxa vovô, a professora pediu que resolvêssemos uma situação problema utilizando múltiplos de um número natural mas, estou achando um pouco complicado.
- Posso lhe ajudar? perguntou o avô.
- Claro que pode, disse o menino imediatamente.
- Bem então vamos lá! Vou ler tudo em voz alta e com bastante calma para a gente compreender tudo, disse o avô.
- Tudo bem vovô, respondeu Felipe
Aqui diz o seguinte: em uma sala retangular de [math] 40 \ m^{2} [/math] em um condomínio, será realizada uma reunião para discutir algumas despesas do mês. Nela o síndico precisará organizar algumas cadeiras em filas para melhor disposição e aproveitamento do espaço. Ele tem obrigação de aproveitar apenas metade desse espaço na organização das cadeiras.
Sabendo que a sala possui [math] 8 \ m [/math] de comprimento e [math] 5 \ m [/math] de largura qual seria a melhor disposição mínima de cadeiras que o síndico deveria ocupar nesse espaço?
Bem, ao terminar de estudar este conteúdo você saberá qual a solução encontrada por Felipe e o seu avô para este pequeno problema.
Múltiplos de um número natural
É necessário entender primeiro, qual o significado de múltiplo de um número natural.
Sejam [math] m [/math] e [math] n [/math] dois números naturais. Dizemos que [math] n [/math] é múltiplo de [math] m [/math], se existir um número [math] k [/math], natural, tal que:
[math] n [/math][math] \ = [/math] [math] m [/math] [math] \times [/math] [math] k [/math]
Pela definição acima, dizemos que múltiplo é o resultado de uma multiplicação. Por consequência, o conjunto dos múltiplos de um número nada será o conjunto de resultados de uma tabuada escolhida. Exemplo, para formar o conjunto dos múltiplos do número [math] 2 [/math], multiplicamos o número dois com todos os números naturais. Obtemos assim o conjunto infinito [math] M(2) = \{ 0, 2, 4, 6, 8 …\} [/math]
Notação do conjunto dos múltiplos de um número
Para escrever o conjunto dos múltiplos de um número qualquer, utilizamos a seguinte notação:
[math] M (n \acute{u} mero \ qualquer) = \{0, …\} [/math]
Aqui, [math] (n \acute {u} mero \ qualquer) [/math] se refere ao número [math] k [/math] que vai gerar os múltiplos. Iniciamos colocando todos entre chaves iniciando pelo zero. Assim, a notação do conjunto dos múltiplos de [math] 2 [/math] terá a forma:
[math] M(2) = \{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, …\} [/math]
Lembre-se que as regras para esta representação já foram estudadas aqui no site. Caso ainda não tenha visto ou necessite recordar o assunto, pedimos que dê uma olhadinha na página conjuntos que consta tudo lá. Não deixe de dar uma revisada.
Me diga agora o que achou? Viu como foi simples? Vejamos então como seria a notação do conjunto dos múltiplos de [math] 6 [/math].
[math] M(6) = \{0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, …\} [/math]
O múltiplo de todo número
Antes de prosseguir, precisamos destacar que uma outra consequência da definição, é o surgimento da existência de um número que é múltiplo de qualquer número. Este número é o [math] 0 \ (zero) [/math]. O único entre os demais que vai possuir essa característica. Por causa deste fato, ele será chamado de múltiplo universal ou múltiplo de todos os números.
Veja que qualquer número multiplicado por [math] 0 [/math] resulta em [math] 0 [/math]. Confira! Como já dito antes, será sempre o primeiro elemento entre os conjuntos de múltiplos.
Veja os exemplos abaixo:
[math] 3 \times 0 = 0, [/math]
[math] 26 \times 0 = 0, [/math]
[math] 145 \times 0 = 0, [/math]
[math] 0 \times 23.900 = 0 [/math]
[math] M(9) = \{0, 9, 18, 27, ...\} [/math]
[math] M(20) = \{0, 20, 40, 60, 80, ...\} [/math]
[math] M(100) = \{0, 100, 200, 300, ...\} [/math]
Para os conjuntos representados por todos os múltiplos de um número com exceção do [math] 0 \ (zero) [/math], nomeamos conjunto dos múltiplos não nulos.
[math] M(7)^* = \{7, 14, 21, ...\} [/math]
[math] M(16)^* = \{16, 32, 48, ...\} [/math]
[math] M(200)^* = \{200, 400, 600, ...\} [/math]
Um conjunto infinito
Outra característica importante a destacar dos múltiplos é que eles são formados por conjuntos infinitos. Dessa forma, sempre que necessitar representar o conjunto dos múltiplos de um determinado número, você deve obrigatoriamente usar as reticências para demonstrar a existência de continuidade.
Agora caso seja determinado que a representação tenha restrições de limite ou quantidade, os subconjuntos dos múltiplos formados deverão ter o uso das reticências descartado.
Exemplo: Quais são os múltiplos de [math] 3 [/math] existentes entre [math] 4 [/math] e [math] 20 [/math] ? Veja que aqui não estamos solicitando todo o conjunto dos múltiplos de [math] 3 [/math], apenas uma pequena parte dele.
A resposta então seria: [math] \{6, 9, 12, 15, 18\} [/math]
Mais um exemplo. Represente os quatro primeiros múltiplos de 30.
Aqui basta montar o conjunto com atenção ao primeiro e último elemento e ainda sobre a ausência das reticências. Veja!
[math] \{0, 30, 60, 90 \} [/math]
Propriedades dos múltiplos
1) Qualquer número natural [math] k [/math] é múltiplo de si mesmo.
Basta notar que todo número natural multiplicado por [math] 1 [/math] resulta nele mesmo
Por exemplo: [math] 8 \ \times 1 = 8 [/math]
[math] 13 \ \times 1 = 13 [/math]
2) Qualquer número natural [math] k [/math] é múltiplo de [math] 1 [/math].
Esta propriedade é uma consequência imediata da anterior. Todo número multiplicado por [math] 1 [/math] será um múltiplo dele
Por exemplo: [math] 1 \ \times 27 = 27 [/math]
[math] 1 \ \times 100 = 100 [/math]
3) Se um número [math] N [/math] é múltiplo de outro número [math] M [/math], a divisão entre [math] M [/math] e [math] N [/math] terá como resultado um número [math] P [/math], de tal forma que o resultado final [math] P [/math] será um número exato, já que o resto dessa divisão será igual a zero.
Como mencionado, para ser promovido a múltiplo, o resultado da divisão deve ser exato.
Por exemplo: [math] 48 [/math] é múltiplo de [math] 6 [/math] pois, [math] 48 \ \div 6 = 8 [/math] e resto [math] 0 [/math],
logo [math] 48 [/math] é múltiplo de [math] 6 [/math] e de [math] 8 [/math].
O número [math] 120 [/math] é múltiplo de [math] 4 [/math] pois, [math] 120 \ \div 4 = 30 [/math] e resto [math] 0 [/math],
logo [math] 120 [/math] é múltiplo de [math] 4 [/math] e de [math] 30 [/math].
4) Se somarmos dois múltiplos [math] A [/math] e [math] B [/math] , ambos do número [math] N [/math] , a soma deles será um outro múltiplo [math] C [/math] também do número [math] N [/math].
Por exemplo: [math] 36 [/math] e [math] 27 [/math] são múltiplos de [math] 9 [/math] .
Então [math] 36 \ + \ 27 = 63 [/math] que também é um múltiplo de [math] 9 [/math]
5) Se subtrairmos dois múltiplos [math] E [/math] e [math] F [/math] , ambos do número [math] N [/math] , a diferença entre eles será um outro múltiplo [math] D [/math] também do número [math] N [/math]
Por exemplo: [math] 45 [/math] e [math] 25 [/math] são múltiplos de [math] 5 [/math] .
Então [math] 45 \ - \ 25 = 20 [/math] que também é um múltiplo de [math] 5 [/math]
6) Se o número [math] A [/math] é múltiplo de um número [math] B [/math] e o número [math] B [/math] é múltiplo de outro número [math] C [/math] , então os números [math] A [/math] e [math] C [/math] são múltiplos entre si;
Por exemplo: [math] 54 [/math] é múltiplo de [math] 27 [/math], e [math] 27 [/math] é múltiplo de [math] 9 [/math].
Então [math] 54 [/math] e [math] 9 [/math] são múltiplos entre si.
7) Se um número [math] P [/math] é múltiplo de outro número [math] Q [/math] , então todos os múltiplos do número [math] P [/math] também são múltiplos do número [math] Q [/math] .
Por exemplo: [math] 80 [/math] é múltiplo de [math] 20 [/math]
Então [math] M(80) = \{0, 80, 160, 240, 320, ...\} [/math] são todos múltiplos de [math] 20 [/math]
Por exemplo: [math] 80 [/math] é múltiplo de [math] 20 [/math]
Então [math] M(80) = \{0, 80, 160, 240, 320, ...\} [/math] são todos também múltiplos de [math] 20 [/math]
Resolvendo a lição de casa
Agora podemos ver e entender qual a solução foi encontrada para o problema mencionado no início da página. O avô de Felipe fez uso dos múltiplos para resolvê-lo.
A primeira coisa que ele fez foi identificar que [math] 8 \times 5 = 40 [/math]. Assim, constatamos que [math] 40 [/math] é múltiplo de [math] 8 [/math] e [math] 5 [/math]. Recordando que o síndico só pode utilizar somente metade desse espaço na organização das cadeiras, então elas deverão ocupar uma área máxima de [math] 20 \ m^{2} [/math].
Agora representamos algumas multiplicações cujo resultado é igual a 20.
[math] 1 \ \times 20 = 20 [/math],
[math] 2 \ \times 10 = 20 [/math],
[math] 4 \ \times 5 = 20 [/math]
Entre essas multiplicações, a melhor opção é [math] 4 \ \times 5 [/math] pois, ocuparia todo um lado da sala e sobraria ainda metade do outro lado. Então como resposta, a melhor maneira de organizar as cadeiras seria formar no mínimo 4 fileiras com 5 cadeiras cada.
Poderíamos resolver este problema também com a ajuda de outras ferramentas que vamos aprender a utilizar mais a frente. Agora, chegou o momento de praticar para fixar o aprendizado.
Vamos praticar um pouco?
" A disciplina é a mãe do êxito."
Ésquilo
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