Os múltiplos

Os múltiplos aparecem constantemente em diversos cálculos na matemática. Aqui você apreenderá o que significam e também onde e como são utilizados.

Introdução

Um certo dia, o menino Felipe estava com seu avô Geraldo e sua mãe Margarete fazendo sua lição de casa no chão sala como gostava de fazer. Sua mãe o acompanhava quando o avô bastante curioso com a concentração do menino, se aproximou perguntou.

- Felipe, qual seria essa lição? 

- O menino reponde: Poxa vovô, a professora pediu que resolvêssemos uma situação problema utilizando múltiplos de um número natural mas, estou achando um pouco complicado.

- Posso lhe ajudar? perguntou o avô.

- Claro que pode, disse o menino imediatamente.

- Bem então vamos lá! Vou ler tudo em voz alta e com bastante calma para a gente compreender tudo, disse o avô.

- Tudo bem vovô, respondeu Felipe

Menino estudando sobre múltiplos
Imagem de Freepik

Aqui diz o seguinte: em uma sala retangular de [math] 40 \ m^{2} [/math] em um condomínio, será realizada uma reunião para discutir algumas despesas do mês. Nela o síndico precisará organizar algumas cadeiras em filas para melhor disposição e aproveitamento do espaço. Ele tem obrigação de aproveitar apenas metade desse espaço na organização das cadeiras.

Sabendo que a sala possui [math] 8 \ m [/math] de comprimento e [math] 5 \ m [/math] de largura qual seria a melhor disposição mínima de cadeiras que o síndico deveria ocupar nesse espaço?

Bem, ao terminar de estudar este conteúdo você saberá qual a solução encontrada por Felipe e o seu avô para este pequeno problema.

Múltiplos de um número natural

Vamos entender primeiro o que seria um múltiplo de um número pertencente ao conjunto [math] \mathbb {N} [/math].

Sejam [math] m [/math] e [math] n [/math] dois números naturais. Dizemos que [math] n [/math] é múltiplo de [math] m [/math], se existir um número [math] k [/math], natural, tal que:

[math] n [/math][math] \ = [/math] [math] m [/math] [math] \times [/math] [math] k [/math]

Fica claro então que múltiplo é o resultado desta multiplicação e o conjunto dos múltiplos nada mais é que o conjunto de determinados resultados de certa tabuada. Por exemplo, para obtermos o conjunto dos múltiplos do número [math] 2 [/math], fazemos a multiplicação entre ele e todos os números naturais como [math] 0, 1, 2, 3, 4 … [/math]

 

Notação do conjunto dos múltiplos de um número

Escrevemos o conjunto dos múltiplos de um número qualquer, utilizando a notação:

[math] M (n \acute{u} mero \ qualquer) = \{0, …\} [/math]

Onde [math] (n \acute {u} mero \ qualquer) [/math] se refere ao número [math] k [/math] que vai gerar os múltiplos e entre chaves um conjunto iniciado por zero. Então a notação do conjunto dos múltiplos de [math] 2 [/math] será representada por:

[math] M(2) = \{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, …\} [/math]

Este tipo de representação já foi estudada aqui no site anteriormente. Caso não tenha visto ou precise recordar este assunto, pedimos que dê uma olhadinha na página conjuntos que consta tudo lá. Não deixe de dar uma revisada.

Me diga agora o que achou? Viu como foi simples? Vejamos então como seria a notação do conjunto dos múltiplos de [math] 6 [/math].

[math] M(6) = \{0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, …\} [/math]

O múltiplo de todo número

Uma fato importante a destacar é que existe um número que é múltiplo de todo número. Repare que o [math] 0 \ (zero) [/math] é o número que tem essa característica. Ele é chamado de múltiplo de todos os números, pois todo número multiplicado por [math] 0 [/math] resulta em [math] 0 [/math]. Ele será sempre o primeiro elemento de qualquer conjunto de múltiplos, sendo estes ordenados e sem qualquer tipo de restrição.

Veja os exemplos abaixo:

[math] 3 \times 0 = 0, [/math]

[math] 26 \times 0 = 0, [/math]

[math] 145 \times 0 = 0, [/math]

[math] 0 \times 23.900 = 0 [/math]

[math] M(9) = \{0, 9, 18, 27, ...\}  [/math]

[math] M(20) = \{0, 20, 40, 60, 80, ...\} [/math]

[math] M(100) = \{0, 100, 200, 300, ...\} [/math]

Os conjuntos representados por todos os múltiplos de um número com exceção do [math] 0 \ (zero) [/math], são chamados de conjunto de múltiplos não nulos.

Um conjunto infinito

Outra característica importante a destacar dos múltiplos é que eles são formados por conjuntos infinitos. Dessa forma, sempre que necessitar representar o conjunto dos múltiplos de um determinado número, você deve obrigatoriamente usar as reticências para demonstrar a existência de continuidade.

Agora caso seja determinado que a representação tenha restrições de limite ou quantidade, os subconjuntos dos múltiplos formados deverão ter o uso das reticências  descartado.

Exemplo: Quais são os múltiplos de [math] 3 [/math] existentes entre [math] 4 [/math] e [math] 20 [/math] ? Veja que aqui não estamos solicitando todo o conjunto dos múltiplos de [math] 3 [/math], apenas uma pequena parte dele.

A resposta então seria: [math] \{6, 9, 12, 15, 18\} [/math]

Mais um exemplo. Represente os quatro primeiros múltiplos de 30.

Aqui basta montar o conjunto com atenção ao primeiro e último elemento e ainda sobre a ausência das reticências. Veja!

[math] \{0, 30, 60, 90 \} [/math]

Propriedades dos múltiplos

1) Qualquer número natural [math] k [/math] é múltiplo de si mesmo.

 

Basta notar que todo número natural multiplicado por [math] 1 [/math] resulta nele mesmo

Por exemplo: [math] 8 \ \times 1 = 8 [/math]

                          [math] 13 \ \times 1 = 13 [/math]

2) Qualquer número natural [math] k [/math] é múltiplo de [math] 1 [/math].

 

Esta propriedade é uma consequência imediata da anterior. Todo número multiplicado por [math] 1 [/math] será um múltiplo dele

Por exemplo: [math] 1 \ \times 27 = 27 [/math]

                          [math] 1 \ \times 100 = 100 [/math]

3) Se um número [math] N [/math] é múltiplo de outro número [math] M [/math], a divisão entre [math] M [/math] e [math] N [/math] terá como resultado um número [math] P [/math], de tal forma que o resultado final [math] P [/math] será um número exato, já que o resto dessa divisão será igual a zero.

 

Como mencionado, para ser promovido a múltiplo, o resultado da divisão deve ser exato.

Por exemplo: [math] 48 [/math] é múltiplo de [math] 6 [/math] pois, [math] 48 \ \div 6 = 8 [/math] e resto [math] 0 [/math],

logo [math] 48 [/math] é múltiplo de [math] 6 [/math] e de [math] 8 [/math].

O número [math] 120 [/math] é múltiplo de [math] 4 [/math] pois, [math] 120 \ \div 4 = 30 [/math] e resto [math] 0 [/math],

logo [math] 120 [/math] é múltiplo de [math] 4 [/math] e de [math] 30 [/math].

4) Se somarmos dois múltiplos [math] A [/math] e [math] B [/math] , ambos do número [math] N [/math] , a soma deles será um outro múltiplo [math] C [/math] também do número [math] N [/math].

 

Por exemplo: [math] 36 [/math] e [math] 27 [/math] são múltiplos de [math] 9 [/math] .

                          Então [math] 36 \ + \ 27 = 63 [/math] que também é um múltiplo de [math] 9 [/math]

5) Se subtrairmos dois múltiplos [math] E [/math] e [math] F [/math] , ambos do número [math] N [/math] , a diferença entre eles será um outro múltiplo [math] D [/math] também do número [math] N [/math] 

 

Por exemplo: [math] 45 [/math] e [math] 25 [/math] são múltiplos de [math] 5 [/math] .

                          Então [math] 45 \ - \ 25 = 20 [/math] que também é um múltiplo de [math] 5 [/math]

6) Se o número [math] A [/math] é múltiplo de um número [math] B [/math]  e o número [math] B [/math]  é múltiplo de outro número [math] C [/math] , então os números [math] A [/math] e [math] C [/math] são múltiplos entre si;

 

Por exemplo: [math] 54 [/math] é múltiplo de [math] 27 [/math], e [math] 27 [/math] é múltiplo de [math] 9 [/math].

                          Então [math] 54 [/math] e [math] 9 [/math] são múltiplos entre si.

7) Se um número [math] P [/math] é múltiplo de outro número [math] Q [/math] , então todos os múltiplos do número [math] P [/math] também são múltiplos do número [math] Q [/math] .

 

Por exemplo: [math] 80 [/math] é múltiplo de [math] 20 [/math] 

                          Então [math] M(80) = \{0, 80, 160, 240, 320, ...\} [/math] são todos múltiplos de [math] 20 [/math]

Por exemplo: [math] 80 [/math] é múltiplo de [math] 20 [/math] 

                          Então [math] M(80) = \{0, 80, 160, 240, 320, ...\} [/math] são todos também múltiplos de [math] 20 [/math]

Resolvendo a lição de casa

estudando múltiplos
Imagem de Freepik

Agora podemos ver e entender qual a solução foi encontrada para o problema mencionado no início da página. O avô de Felipe fez uso dos múltiplos para resolvê-lo.

A primeira coisa que ele fez foi identificar que [math] 8 \times 5 = 40 [/math]. Assim,  constatamos que [math] 40 [/math] é múltiplo de [math] 8 [/math] e [math] 5 [/math].  Recordando que o síndico só pode utilizar somente metade desse espaço na organização das cadeiras, então elas deverão ocupar uma área máxima de [math] 20 \ m^{2} [/math].

Agora representamos algumas multiplicações cujo resultado é igual a 20.

[math] 1 \ \times 20 = 20 [/math],

[math] 2 \ \times 10 = 20 [/math],

[math] 4 \ \times 5 = 20 [/math]

Entre essas multiplicações, a melhor opção é [math] 4 \ \times 5 [/math] pois, ocuparia todo um lado da sala e sobraria ainda metade do outro lado. Então como resposta, a melhor maneira de organizar as cadeiras seria formar no mínimo 4 fileiras com 5 cadeiras cada.

Esse mesmo problema seria ainda mais rapidamente resolvido com a ajuda de outras ferramentas que aprenderemos mais a frente. Por ora, vamos praticar um pouco mais para fixar o aprendizado.

Vamos praticar um pouco?

" A disciplina é a mãe do êxito."

Ésquilo

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Preparado para praticar? Tome papel e caneta se achar necessário, responda calmamente mas, fique atento ao tempo!

Tempo encerrado!


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Exercícios sobre múltiplos

Atenção!

Você terá um tempo máximo de 5 minutos para responder este questionário!

tail spin

1 / 3

1) Entre as alternativas abaixo, a única falsa será?

2 / 3

2) Dentre os números abaixo, qual deles é múltiplo de 6 e 9 ao mesmo tempo?

3 / 3

3) Os sete primeiros múltiplos de [math] 19 [/math] são?

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