Mínimo múltiplo comum
O mínimo múltiplo comum é uma ferramenta poderosa que ajuda a solucionar diversos cálculos na matemática. Aqui você apreenderá o seu significado, como pode ser encontrado e exemplos de como é utilizado. Iniciaremos nossa trajetória apresentando uma história muito interessante que se passou num reino distante.
Seja bem vindo a Temphor!
O reino de Temphor, era governado por um grande líder e tinha uma extensão enorme. Sua área era composta por 17 províncias e a capital Sefhor. Se limitava ao norte pela província de Dhovar do Norte e ao sul pela província de Dhovar do Sul. Limitava-se a oeste pela extensa floresta de cedro e a leste pelo sempre temido e agitado mar de Temphor.
Uma terra maravilhosa e com poucos problemas. Havia fartura de alimentos e trabalho. A educação era referência para reinos vizinhos. Destacava-se no ensino e divulgação da matemática. Era obrigatório a troca de informações sobre novas descobertas ou atualizações científicas entre as províncias. Dessa forma todo o reino se desenvolvia de forma harmônica e evitava a desigualdade entre as províncias.
Certa vez, o líder soberano precisou tratar com urgência de uma questão referente ao período de colheita de alguns alimentos. O reino produzia com abundância trigo, milho e algodão. A colheita do milho ocorria quatro meses após o plantio. Já a colheita do algodão ocorria oito meses após o plantio. Por fim a colheita do trigo sempre ocorria seis meses após o plantio.
O líder e seus assessores precisavam saber quanto tempo levaria para ocorrer uma colheita simultânea desses alimentos, uma vez que fossem semeados todos ao mesmo tempo. Rapidamente uma mensagem foi enviada a cada província para que um de seus representantes comparecem o mais rápido possível a capital para resolver e explicar a resolução da questão com um minucioso passo a passo.
Então caro estudante, como acha que foi resolvida essa questão? Já tem uma ideia da ferramenta ou ferramentas utilizadas? Logo logo encontrará a resposta para essas e outras questões mas antes, vamos aprender um pouco mais sobre as duas principais províncias do reino de Temphor.
Dhovar do Norte e Dhovar do Sul
As duas províncias localizadas nos extremos de Temphor, sempre se destacaram na resolução de problemas e inovações para o reino. A localização de cada uma também mantinha a segurança e garantia a comunicação de todo o reino com o exterior.
Particularmente as duas províncias costumavam ser bem competitivas e disputavam com frequência as questões relacionadas aos mais diversos setores do reino. Da política a economia, tudo era motivo para a competição entre elas.
Dhovar do Norte era mais reconhecida pela pesquisa e identificação enquanto Dhovar do Sul costumava garantir com muita eficiência a implementação do conhecimento. Quando o mensageiro de Semphor chegou em cada província trazendo a mensagem de convocação dos representantes, deu-se inicio a uma enorme corrida para ver quem iria representar cada cidade nesse grande desafio.
Em cada uma foi convocado o pequeno conselho formado por seus anciãos e depois de muita discussão, cada província chegou a sua decisão definitiva. Foram selecionados Lady Algorina para representar Dhovar do sul e Sir Numerius para representar Dhovar do Norte. Concluída a decisão de cada província, os dois não perderam tempo e imediatamente iniciaram a viagem até a capital Semphor.
Recordando múltiplos
Passados alguns dias, finalmente os nomeados chegaram a Semphor. Sir Numerius e lady Algorina ficaram hospedados nos aposentos do grande palácio. Ambos teriam que aguardar ainda o dia seguinte para falar com o grande líder sobre o seu chamado. Ambos já tinham conhecimento do problema e sabiam como encontrar a solução. A questão que os desafiava era como sempre, a forma de expor a sua resolução passo a passo.
Chegado o dia seguinte, ambos tiveram o esperado encontro com o grande líder. O lugar destinado para a conversa foi a grande cúpula do saber. Um local exuberante por sua beleza, tamanho e fama. Ali ficavam expostos as principais contribuições do reino para o progresso da humanidade. Os habitantes de um modo geral, tinham muito orgulho do local que em dias comuns era visitado frequentemente por pessoas do mundo todo.
Mas aquele dia era um dia especial para todos, pois era o dia de mais um desafio. Para surpresa de todos, somente os nossos viajantes de Dhorar do Norte e Dhorar do Sul estavam presentes. As demais províncias não enviaram representantes. Assim a responsabilidade aumentou para os dois. Não demorou muito e o mestre abriu a sessão apresentando ao público, os dois representantes e seus feitos. Para surpresa de todos ele anuncio que os dois deveriam resolver o desafio juntos. Não haveria competição.
A reação dos presentes foi imediata. Todos já estavam acostumados aos grandes embates que ocorriam com frequência, principalmente entre a duas províncias. Desta vez não veio ao caso. Houve um pequeno sorteio para decidir quem falaria primeiro e Lady Algorina foi a sorteada. Trocaram olhares e Sir Numerius acenou com a cabeça em sinal de concordância. Então sem qualquer reunião anterior ou combinado entre eles, deu-se início ao desafio.
"Para resolver esta questão meu grande líder, vamos precisar utilizar a ferramenta do mínimo múltiplo comum" disse ela.
E continuou. "Mas antes vamos precisar fazer uma breve revisão de múltiplos."
"Então o faça!" Disse em voz alta o grande líder.
E Lady Algorina começou:
"Recordando rapidamente a definição de um múltiplo de um número natural temos.
Sejam [math] m [/math] e [math] n [/math] dois números naturais. Dizemos que [math] n [/math] é múltiplo de [math] m [/math], se existir um número [math] k [/math], natural, tal que:
[math] n [/math][math] \ = [/math] [math] m [/math] [math] \times [/math] [math] k [/math]
Assim, a partir dessa definição, é garantido que [math] 50 [/math] é múltiplo de [math] 5 [/math] pois, [math] 50 = 10 \times 5 [/math]. Da mesma forma, também podemos afirmar que [math] 54 [/math] é múltiplo de [math] 9 [/math] já que [math] 54 = 6 \times 9 [/math].
A notação para o conjunto dos múltiplos de um número é a seguinte:
[math] M (n \acute{u} mero \ qualquer) = \{0, …\} [/math]
Assim, o conjunto dos múltiplos de [math] 12 [/math] e [math] 18 [/math] são escritos da seguinte forma:
[math] M(12) = \{0, 12, 24, 36, 48, 60, …\} [/math]
[math] M(18) = \{0, 18, 36, 54, …\} [/math]
Desafio 1 - MMC
Marque a opção correta
"*" indica campos obrigatórios
Mas afinal, o que é mínimo múltiplo comum?
Então foi a vez de Sir Numerius falar. Ele iniciou seu discurso dizendo:
"Como puderam recordar de forma muito clara e prática, os múltiplos são conjuntos infinitos que mostram uma sequencia de quantidades. Vou usar os dois últimos citados por Lady Algorina para continuar nossa explicação. Observando atentamente aos dois conjuntos de múltiplos múltiplos [math] ( 12 \ e \ 18 ) [/math], nos chama a atenção o seguinte:
Percorrendo os todos os elementos dos dois conjuntos simultaneamente, é possível ver que alguns elementos se repetem. Para facilitar nossa visão, escrevemos esse novo conjunto separadamente.
[math] M \acute {u} ltiplos \ comuns (12 \ e \ 18) = \{0, 36, 72, 108, …\} [/math]
Neste novo conjunto do múltiplos comuns, descartamos o zero e olhamos para o primeiro número da sequencia não nulo que é o [math] 36 [/math].
Este será então o nosso [math] MMC \ (Menor \ ou \ M \acute {i} nimo \ M \acute {u} ltiplo \ Comum) \ de \ 12 \ e \ 18 [/math].
Escrevemos assim: [math] MMC (12 \ e \ 18) = \{36 \} [/math].
O mínimo múltiplo comum pode ser encontrado com uma listagem de três, quatro, quantos números desejar. Nesses casos, o que ocorre é o aumento da dificuldade para listar e observar os elementos comuns. Vejamos como seria encontrar o mínimo múltiplo comum dos números [math] 4, 5 \ e \ 10 [/math].
Primeiro listamos o conjunto dos múltiplos de cada um.
[math] M(4) = \{[/math][math] 0 [/math] [math], 4, 8, 12, 16, [/math] [math] 20 [/math][math], 24, 28, 32, 36, [/math] [math] 40 [/math] [math], 44, 48, 52, 56, [/math][math] 60 [/math] [math], …\} [/math]
[math] M(5) = \{[/math] [math] 0 [/math] [math], 5, 10, 15, [/math] [math] 20 [/math] [math], 25, 30, 35, [/math] [math] 40 [/math] [math], 45, 50, 55, [/math] [math] 60 [/math] [math], …\} [/math]
[math] M(10) = \{[/math] [math] 0 [/math] [math], 10, [/math] [math] 20 [/math] [math], 30,[/math] [math] 40 [/math] [math], 50, [/math] [math] 60 [/math] [math], …\} [/math]
Agora destacamos o conjuntos dos múltiplos comuns aos três números.
[math] M \acute {u} ltiplos \ comuns (4, 5 \ e \ 10) = \{ [/math] [math] 0, 20, 40, 60, ... [/math] [math] \} [/math]
O menor (mínimo) múltiplo com exceção do zero neste conjunto é o [math] 20 [/math].
Nossa resposta com notação matemática seria assim
[math] MMC(4, 5 \ e \ 10) = {20} [/math]"
A solução do problema da colheita
A palavra então retornou a Lady Algorina.
" Como viram encontrar o MMC de um número é um processo bastante prático. Dado este último exemplo para o MMC de três números explicado brilhantemente por Sr Numerius, agora é possível solucionar o problema da colheita.
Como o objetivo é encontrar o tempo simultâneo de produção do trigo, do milho e do algodão; então basta encontrar o MMC desses números que se referem aos meses de colheita de cada um. Temos então:
Para o milho :
[math] M (4) = \{ [/math] [math] 0 [/math] [math], 4, 8, 12, 16, 20, [/math] [math] 24 [/math] [math], 28, 32, 36, 40, …\} [/math]
Para o trigo :
[math] M (6) = \{ [/math] [math] 0 [/math] [math], 6, 12, 18, [/math] [math] 24 [/math] [math], 30, 36, 42, 48, 54, 60, …\}[/math]
Para o algodão :
[math] M (8) = \{ [/math] [math] 0 [/math] [math], 8, 16, [/math] [math] 24 [/math] [math], 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, …\} [/math]
Analisando o conjunto dos múltiplos comuns dos meses dos três produtos temos:
[math] M \acute {u} ltiplos \ comuns (4, 6 \ e \ 8) = \{ [/math] [math] 0, 24, … [/math] [math] \} [/math]
A resposta então para o problema será
[math] MMC(4, 6, \ e \ 8) = [/math] [math] {24} [/math]
Ou seja, somente [math] 24 [/math] meses [math] (2 \ anos) [/math] após o plantio simultâneo dos produtos, vai poder ser realizada uma colheita simultânea deles."
Quem poderia imaginar?
Todos aplaudiram de pé por um longo tempo. Lady Algorina e Sir Numerius cumprimentam-se emocionados e perceberam que naquele momento não tinham só resolvido um problema como tantos outros que já estavam acostumados. Estavam fazendo história.
E quem podia imaginar que duas províncias tão competitivas, resolveriam com rapidez e maestria tamanho desafio. Então a partir daquele momento ficou registrado como era realizado o cálculo do MMC de dois ou mais números.
O líder soberano ficou então satisfeito e disse que gostaria de revê-los para aprender mais sobre o MMC. Os dois avisaram que retornariam no próximo mês a capital para mostrar outros métodos de calcular o MMC.
Chegou a hora de você praticar para fixar o aprendizado.
Vamos praticar um pouco?
" A disciplina é a mãe do êxito."
Ésquilo
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