As expressões numéricas
As expressões numéricas estão presentes em praticamente todos os cálculos na matemática. Chegou o momento de aprender a utilizar simultaneamente, todas as operações com números naturais estudadas até o momento.
Um ônibus inicia uma viagem do Rio de Janeiro a Belo Horizonte com um total de [math] 42 [/math] passageiros. Sabe-se que durante o percurso o veículo terá [math] 3 [/math] paradas para embarque e desembarque.
Na primeira parada desembarcaram [math] 15 [/math] passageiros e embarcaram [math] 8 [/math].
Na segunda parada desembarcaram [math] 9 [/math] e embarcaram [math] 11 [/math].
E por fim na terceira e última parada antes de chegar ao seu destino, desembarcam [math] 10 [/math] e embarcam [math] 15 [/math] passageiros.
Quantos passageiros desembarcaram do ônibus quando este chegou a cidade de Belo Horizonte?
Ao terminar de estudar as expressões numéricas você será capaz de resolver problemas como este. Então vamos começar!
Operações sem delimitadores
Observe a seguinte expressão numérica.
[math] 19 - 18 + \sqrt {16} \times 5 + 7 - 1 + 15 \div {3} + 3 ^{2} = [/math] ?
Ficou com dúvida? Saberia qual operação efetuar primeiro? Bem existem regras para não haver confusão. Vamos conhecer como elas funcionam
Quando nos deparamos com uma expressões numéricas compostas de números naturais, precisamos identificar se estão presentes e daí obedecer a seguinte ordem de resolução das operações:
- Primeiro são resolvidas as radiciações e potenciações na ordem em que aparecem.
- Em segundo são resolvidas as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem.
- Em terceiro são resolvidas as adições e subtrações na ordem em que aparecem.
Basta seguir essas regras a risca e não terá problemas na resolução das expressões numéricas. Muitas delas farão uso dos delimitadores que tem a função de fazer elas terem validade dentro de cada um deles. Veremos como isso funciona mais a frente. Antes, vamos ver um exemplo da aplicação dessas regras.
O cálculo passo a passo
Vamos resolver a seguinte expressão numérica abaixo. Para isso, temos que calcular primeiro radiciações e potenciações caso existam.
[math] 19 - 18 + \sqrt {16} \times 5 + 7 - 1 + 15 \div {3} + 3 ^{2} = [/math] ?
Temos a radiciação [math] \sqrt {16} [/math] e a potenciação [math] 3 ^{2} [/math] para serem resolvidas respectivamente nesta ordem. Calculando e colocando seus resultados a nova expressão ficará assim:
[math] 19 - 18 + \ 4 \times 5 + 7 - 1 + 15 \div {3} + 9 = [/math] ?
Resolvemos agora as divisões e multiplicações se existirem. Veja que temos [math] 4 \ \times \ 5 [/math] e [math] 15 \div {3} [/math] para resolver. Efetuando os cáculos temos a nova expressão:
[math] 19 - 18 + 20 + 7 - 1 + 5 + 9 = [/math] ?
Ficamos agora com as adições e subtrações que como estabelecido na regra, devem ser resolvidas na ordem em que aparecem. Desta forma temos:
[math] 1 + 20 + 7 - 1 + 5 + 9 = [/math] ?
Continuando.
[math] 28 - 1 + 5 + 9 = [/math] ?
E para terminar.
[math] 27 + 5 + 9 = 41 [/math]
A partir daqui, poderemos efetuar os mais diversos cálculos contendo uma, duas, três ou mesmo todas essas operações em uma única expressão. Surgem assim uma infinidade de interpretações e possibilidades para todo tipo de problema.
Faça e refaça este exemplo várias vezes até ter o entendimento completo do que ocorreu no passo a passo. Observe como a expressão começa enorme e vai diminuindo, afunilando linha a linha. Veja também como é repetido cada número e sinal devidamente nos mesmos lugares desde a expressão inicial. Respeitando esses detalhes, não terá problema algum.
Porém as vezes, devido a complexidade do problema ou operadores há a necessidade de fazer uso de delimitadores para mudar a ordem ou adiar algum cálculo. Vejamos como isso funciona.
Utilizando delimitadores
O uso de delimitadores criam novas prioridades dentro das expressões numéricas. Com eles é possível alterar, separar ou direcionar se alguma operação ou um grupo delas precisam ser realizada antes de outras para que se encontre o resultado correto.
Os símbolos de pontuação utilizados como delimitadores nas expressões numéricas são chamados: parênteses , colchetes e chaves.
Parênteses é o nome dado ao símbolo ( ) e será sempre o primeiro par de delimitadores a ser calculado.
Colchetes é o nome dado ao símbolo [ ]. Não havendo ou solucionados todos os parênteses existentes, serão os próximos na sequência a serem calculados.
Chaves é o nome dado ao símbolo { }. Será calculado quando não houver ou já terem sido calculados todos os parênteses e colchetes.
O passo a passo com delimitadores
Vamos entender melhor juntos como isso funciona? Considere mais exemplos de expressões numéricas. Seja a expressão:
[math]\{ [/math][math] 8 \ \times [/math] [math] [ [/math] [math] 4 \ + [/math] [math] ([/math] [math] 20 \div 10 [/math] [math] ) [/math][math] \ + \ 2 [/math] [math] ] [/math] [math] - \ \sqrt {9} [/math][math] \} [/math][math] \ + \ 5 = [/math] ?
Encontramos as operações nesta expressão de radiciação, multiplicação, divisão, subtração e adição. Mas não podemos resolver primeiro a radiciação pois, há delimitadores que nos impedem de fazer esse cálculo.
Os três tipos estão presentes (parênteses, colchetes e chaves) e será preciso respeitar respectivamente esta ordem de resolução. Começamos primeiro então pelos parênteses.
[math] ( [/math] [math] 20 \div 10 [/math] [math] ) [/math]
Temos uma operação única e no caso basta efetuar a divisão. Se houvesse outra operação diferente da divisão seria necessário adotar a ordem estabelecida anteriormente.
Colocando o resultado da divisão e eliminando os parênteses, a nossa expressão fica desse jeito.
[math]\{ [/math][math] 8 \ \times [/math] [math] [ [/math] [math] 4 \ [/math][math] ] [/math] [math] - \ \sqrt {9} [/math][math] \} [/math][math] \ + \ 5 =[/math] ?
O próximo passo pela regra é eliminar os colchetes. Temos então uma adição de três parcelas bem simples de resolver.
[math] [ [/math] [math] 4 \ + \ 2 \ + \ 2 [/math] [math] ] [/math]
Resolvendo a adição e eliminando os colchetes temos uma nova expressão.
[math]\{ [/math][math] 8 \ \times \ 8 \ - \ \sqrt {9} [/math][math] \} [/math][math] \ + \ 5 =[/math] ?
Enfim temos os últimos delimitadores a resolver: o par de chaves. Vamos destacá-lo também para observar melhor as operações que se encontram dentro deles.
[math]\{ [/math][math] 8 \ \times \ 8 \ - \ \sqrt {9} [/math][math] \} [/math]
Temos uma multiplicação e uma radiciação. Pela regra estabelecida, será obrigatório resolver a radiciação primeiro.
[math]\{ [/math][math] 8 \ \times \ 8 \ - \ 3 [/math][math] \} [/math]
Temos uma multiplicação e uma radiciação. Pela regra estabelecida, será obrigatório resolver a radiciação primeiro.
[math]\{ [/math][math] 64 \ - \ 3 [/math][math] \} [/math]
Temos uma multiplicação e uma radiciação. Pela regra estabelecida, será obrigatório resolver a radiciação primeiro.
[math] 61 \ + \ 5 = 66 [/math]
Delimitadores repetidos
Pode haver casos em que os pares de delimitadores são repetidos. Eles podem estar posicionados lado a lado.
[math] ( 7 \ \times \ 9 ) \ - ( 54 \div {6} ) = [/math] ?
[math] 63 \ - \ 9 = 54 [/math]
Ou ainda um dentro do outro. Neste caso comece pelo delimitador mais interno e em seguida os externos. Atenção! Isto não altera em nada as regras que foram dadas. Continua valendo a hierarquia de acordo com o tipo de delimitador.
[math] ((3 \ \times \ 5) \ + \ 10) = [/math] ?
[math] (15 \ + \ 10) = 25[/math]
Lembra do primeiro problema?
Retomando o problema mencionado no início da página, referente a viagem de ônibus do Rio de Janeiro a Belo Horizonte, podemos enfim resolve-lo utilizando o que acabamos de aprender. Acompanhe atentamente o raciocínio.
A primeira coisa a fazer foi representar a primeira parada com o desembarque dos passageiros [math] ( - ) [/math] fazendo uso de parênteses para isolar este fato. O embarque dos passageiros [math] ( + ) [/math] nesta primeira parada foi representada por mais um par de parênteses. Faça isso quando notar que terá necessidade de representar uma expressão fazendo uso de muitos pares de delimitadores.
Em seguida após mais uma parada. Fez- se uso da representação de mais pares de delimitadores para cada embarque e desembarque utilizando colchetes.
O último embarque e desembarque foi representado utilizando o uso do par de chaves. A expressão numérica que representa este problema poderia ficar assim:
[math] \{\{[[((42 - 15) + 8) - 9] +11] - 10 \} + 15\}=[/math] ?
Resolvendo passo a passo de acordo com o que aprendemos temos.
[math] \{\{[[((42 - 15) + 8) - 9] +11] - 10 \} + 15\}=[/math] ?
[math] \{\{[[(27 + 8) - 9] +11] - 10 \} + 15\} = [/math] ?
[math] \{\{[[35 - 9] +11] - 10 \} + 15\}=[/math] ?
[math]\{ \{[26 + 11] - 10 \} + 15\}=[/math] ?
[math] \{ \{37 - 10 \} + 15\} = [/math] ?
[math] \{27 + 15\} = 42 [/math]
Ou seja, 42 passageiros desembarcaram na cidade de Belo Horizonte.
Estude quantas vezes achar necessário pois, estas expressões aparecerão constantemente na matemática. Atente-se ao detalhes. Como foi mencionado observe como as regras são inseridas no passo a passo.
Vamos praticar um pouco?
"A matemática é a rainha das ciências."
Carl Friedrich Gauss
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