Sequências recursivas - parte 1: Um livro e uma história de Temphor
Na Escola Galois, onde aprender matemática é tão comum quanto encontrar um livro aberto na janela, a professora Marla — especialista em Álgebra e contadora de boas histórias — chegou à sala com um brilho nos olhos.
— Pessoal, hoje vamos aprender sobre algo muito interessante: sequências recursivas! — disse ela, animada. — Mas, como sempre, usaremos um bom livro para nos ajudar.
Ela ergueu um exemplar de capa antiga e título dourado:
“A Torre dos Ecos: Uma história de Temphor”
— Já ouvi falar desse livro, professora. Dizem que é muito legal, cheio de suspense e... números? — sussurrou Nassor, franzindo a testa.
— Isso mesmo! — respondeu Marla. — É o mais lido da nossa biblioteca. E, segundo alguns professores, o mais misterioso também…
Risadas surgiram aqui e ali. Murmúrios curiosos ecoaram pela sala. O título já era conhecido entre os alunos mais velhos, cercado de lendas sobre segredos escondidos, enigmas e muita matemática.
— Esta é mais uma história que se passa no reino de Temphor, um lugar onde, como vocês sabem, as leis da matemática influenciam até o soprar do vento...
Marla abriu uma das páginas ilustradas do livro e leu em voz alta:
A Torre dos Ecos
"A torre se ergue no coração de uma montanha envolta em uma névoa espessa. Suas paredes espiraladas parecem infinitas, construídas com pedras acinzentadas que refletem a luz em padrões geométricos. A estrutura parece viva, como se escutasse quem se aproxima.
Localizada em uma região afastada de Sephor, capital do Reino de Temphor, a torre era visível de qualquer ponto da cidade — e mesmo assim, ninguém se aproximava.
Dizem que, dentro da Torre dos Ecos, o acesso a cada andar se dá por portas de pedra pesadas, cada uma com uma mensagem grafada em formato de desafio. Para avançar, é preciso resolver cada enigma. Juntas, as respostas formam uma última sequência final — a “chave” para alcançar o topo, onde os segredos mais importantes de Temphor estão guardados."
Os Ecos da Grande Torre: O Enigma Recursivo de Temphor
— Mas por que o nome “Ecos”? — levantou a mão Yara, sempre rápida com perguntas.
Marla sorriu e explicou:
— Dizem que a torre não apenas guarda vozes do passado, mas repete acontecimentos de forma misteriosa, quase como... um padrão. E é justamente sobre isso que vamos falar.
Ela caminhou até o quadro e escreveu:
— Vocês conhecem essa sequência?
[math](0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...)[/math]
— Essa é a famosa sequência de Fibonacci. O que cada número tem de especial?
— É a soma dos dois anteriores! — exclamou uma aluna.
— Exatamente! — disse Marla com um leve sorrisinho no canto da boca. — Isso é uma sequência recursiva: uma sequência em que cada termo depende dos anteriores. É como se o número "escutasse" o que veio antes para decidir seu próximo passo. Daí surgiu o nome para Torre dos Ecos. Os desafios na torre repetem padrões, assim como esta sequência.
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A famosa sequência de Fibonacci
Esta sequência se chama Fibonacci em homenagem ao matemático italiano Leonardo da Vinci que recebia este apelido. Ela surgiu da observação de Fibonacci ao crescimento de uma população de coelhos.
Nesta sequência ele considerou que cada número representasse um casal. Todo casal a partir do segundo mês iniciava a reprodução dando a luz a um novo casal. Por isso o número um aparece duas vezes no início da sequência. O casal ainda não estava na idade fértil para reprodução.
Depois considerou o seguinte: Uma vez iniciado o processo de reprodução de um casal, ele jamais acabaria, ou seja, todos os meses esse mesmo casal reproduziria um novo casal. Abaixo há uma ilustração explicando esse processo.
No terceiro mês, o casal de coelhos de cor preta entrou em idade fértil e gerou um novo casal de cor verde. No quarto mês, como o casal verde ainda não esta em idade fértil não reproduz. Pelo contrário, o casal preto gera mais uma vez um novo casal de coelhos, desta vez de cor vermelha.
Quando chegamos ao quinto mês o ciclo se repete, o casal vermelho ainda não pode se reproduzir. Porém, os casais preto e vermelho geram cada um, casais de coelhos azuis. Assim segue a sequência com esse processo se repetindo infinitamente.
Vale ressaltar que Fibonacci considerou essa situação fictícia. Ele considerou que nenhum coelho morreria. Sabemos que não é assim que acontece com coelhos na realidade.
Muitas são as aplicações e descobertas sobre a sequência de Fibonacci. Nesta outra imagem abaixo, cada número da sequência representa o lado de um quadrado. Veja que começamos com dois quadrados menores de lado um e depois temos outro um pouco maior de lado dois, ai vem outro de lado três, outro de lado cinco e assim segue. Por cada quadrado que é colocado traça-se uma linha curva. Ao final com a união de todas elas, temos uma linha chamada espiral de Fibonacci.
No caso da sequência de Fibonacci apresentada, temos uma sequência iniciada pelo termo [math] a_ {0}[/math] que representa posição do item.
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Algumas sequências costumam ser iniciadas dessa forma. Quando isto ocorrer você deve ter uma atenção um pouquinho maior pois, a posição do elemento muda na sequência. Um elemento que tiver [math] n [/math] valendo quatro por exemplo, estará ocupando a quinta posição, e não a quarta.
Assim temos:
Veja a dependência de cada item para a descoberta do seguinte. Observe que a última linha mostra a lei de formação da sequência. A partir dela, também ocorre uma facilidade para encontrar outros elementos da sequência.
Mas é só isso? Mais um exemplo de sequência recursiva
Sim, de forma bem básica seria só isso mesmo. Sequências recursivas são aquelas que para serem formadas, sempre vão depender de algum termo anterior para a determinação do próximo. Em outras palavras, para serem construídas, essas sequências sempre terão a necessidade de um recurso, ou seja, um ou mais itens (termos) anteriores que vão determinar sucessivamente, cada novo elemento. Essa é a explicação mais simplificada.
Vamos para mais um exemplo de formação da uma sequência recursiva. Dessa vez vamos declarar alguns termos antes. São eles: [math] a_ {1} = 5 [/math] , [math] a_ {2} = 9 [/math] e [math] a_ {3} = 13 [/math] para uma sequência infinita.
Escrevendo a sequência temos [math] (5, 9, 13, ...) [/math]. É necessário descobrir qual será o próximo número na sequência. E ai? Você consegue identificá-lo assim de imediato? Para não haver erros, primeiro identificamos se há algum padrão existente. Feito isso, vamos ver se para encontrar o próximo número há a necessidade dos anteriores. Fazendo a diferença entre o segundo e o primeiro [math] (9 - 5) [/math] encontramos [math] 4 [/math]. Da mesma forma fazendo a diferença entre o terceiro e o segundo [math] (13 - 9) [/math] encontramos [math] 4 [/math].
Esse é o padrão encontrado. A diferença entre um termo e o seu anterior sempre resulta [math] 4 [/math].
Podemos também pensar de outro modo dizendo que a partir do primeiro termo, para encontrarmos o seguinte, basta somarmos quatro. Agora facilmente montamos nossa sequência recursiva e sua lei de formação.
Certamente o próximo termo na sequência será o número [math]17 [/math], depois [math] 21 [/math] e assim por diante. Aqui do mesmo modo, a expressão [math] a_{n} = a_{n-1} + 4 [/math] com as devidas restrições para [math] n [/math] na última linha representa a lei que determina a formação da sequência.
A Tríade do Véu
— Toda sequência tem uma origem. Mas alguns querem apagá-la… — ela disse, fechando o livro com um leve sorriso.
— Assim como os andares da Torre dos Ecos… cada um guarda um sussurro do anterior. O que vocês ainda não sabem é que há ecos nesta história que alguém está tentando silenciar. Nem todos querem que padrões sejam descobertos...
Nas páginas seguintes do livro, somos apresentados a uma aliança sombria chamada Tríade do Véu — três irmãos, descendentes de uma antiga linhagem de manipuladores.
São pessoas de uma mesma família, todos com olhos intensos como a noite sem lua. Vestem mantos com detalhes prateados que brilham sutilmente. A presença dos irmãos sempre impõe silêncio por onde passam.
Mestre Vorak, o mais velho, é alto e de fala precisa. Seus olhos parecem calcular cada palavra dita. Ele é o estrategista, o cérebro da Tríade, mestre em encobrir fatos com versões duvidosas.
Lady Caólia, a irmã do meio, é envolvente e hipnótica. Usa trajes longos e um turbante que remete à tradição de sua família. Possui o dom de confundir o real e o imaginado com histórias persuasivas.
Sombrax, o mais jovem, raramente fala. Move-se como sombra e parece desaparecer entre pensamentos. É especialista em apagar rastros e distorcer memórias — como se jamais tivessem existido.
O objetivo da Tríade?
Apagar uma sequência de fatos do passado que os incrimina — uma sequência escondida no topo da torre.
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O Som do Retorno
Marla fechou o livro por um instante, fitando os alunos com uma expressão mais séria.
— O que poucos sabem — disse em tom mais baixo — é que a Tríade já tentou invadir a torre antes. E falharam. Mas agora, há rumores de que algo mudou...
Ela virou a página e apontou para uma ilustração antiga: a silhueta da torre envolta em névoa, e três figuras ao longe, mal visíveis.
— Dizem que ecos estranhos voltaram a ser ouvidos por quem passa perto. E que alguém conseguiu abrir o primeiro portão...
Um silêncio pesado tomou a sala. Até Nassor, que costumava cochilar no fundo, agora estava atento.
— O livro afirma que o próximo desafio está prestes a ser revelado. E vocês, como jovens estudiosos de Temphor, poderão tentar resolvê-lo.
Nesse momento, um som inesperado ecoou pelo alto-falante da escola.
Três notas curtas, repetidas — uma sequência.
Marla sorriu, enigmática.
— Parece que os ecos já começaram a chegar até nós...
Agora é hora de praticar um pouco!
"A física é a poesia da natureza. A matemática, o idioma.”
Antonio Gomes Lacerda
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