Os Números Inteiros
O que são números inteiros?
Os números inteiros são todos os números não decimais. Na matemática são números que não podem ser expressos na forma fracionária. Esses números passam a ter um sinal de mais [math] (+) [/math] ou menos [math] (-) [/math] na frente representando respectivamente os inteiros positivos e os inteiros negativos.
A letra [math] \mathbb {Z} [/math] é usada para representar esse conjunto de números. Essa representação vem do alemão e a pronúncia correta é Zahl, que significa “número”.
Várias são as representações desses números no nosso cotidiano. Podemos utilizá-los para representar medidas de temperatura, saldo de uma conta, altitude de um objeto ou até mesmo os andares de um edifício.
Legal podemos ordená-los!
A representação dada acima mostra uma ordenação desses números dentro do conjunto. Chamamos de números inteiros positivos, todos os números posicionados a direita do zero. Já os números posicionados a esquerda do zero são chamados de números inteiros negativos. A partir dessa definição, será possível representá-los na reta numerada.
Essa reta também pode ser posicionada na vertical. Nesse caso, os números negativos ficam abaixo do zero e os positivos acima.
Em certas ocasiões é necessário identificar um ponto exato na reta. Digamos que precisamos identificar os pontos [math] A = - \ 12 [/math] e [math] D = + \ 8 [/math] na reta. Faremos assim:
Desenhamos a reta e marcamos os dois pontos procurados como mostrado na imagem abaixo.
Dizemos: o ponto [math] A [/math] encontra-se no sentido negativo a doze unidades da origem (ponto zero).
O ponto [math] D [/math] está no sentido positivo a oito unidades da origem.
Uma outra forma de dizer esse resultado seria: o ponto [math] A [/math] tem abscissa igual a [math] -12 [/math] e o ponto [math] D [/math] tem abscissa igual a [math] + \ 8 [/math].
Abscissa é o nome que se dá a coordenada horizontal em uma reta numerada.
Valor absoluto ou simétrico
Quase todos os elementos desse conjunto possuem um simétrico, ou seja, isso quer dizer que têm sinais opostos. na reta acima é possível ver que se existe o menos um [math] (-1) [/math], teremos o seu oposto mais um [math] (+ \ 1) [/math]. O zero é o único número que não possui simétrico.
A consequência dessa simetria é o chamado valor absoluto ou módulo. Trata-se da distância entre a origem (zero) e o próprio número. É representado por um valor entre duas barras verticais [math] | | [/math]. Todo número inteiro terá o valor do seu módulo sempre positivo. Geralmente esse resultado é colocado sem sinal para reforçar a ideia de valor absoluto. Vejamos alguns exemplos:
Comparando números inteiros
Pela possibilidade de ordenação desse conjunto, agora podemos compara-los. Quando fazemos isso, usamos os símbolos [math] > [/math] (maior que) [math] < [/math] (menor que) ou [math] = [/math] (igual a). É bem fácil guardar a regra. Basta memorizar que todo número a direita na reta numérica é maior. Vamos a alguns exemplos.
Subconjuntos importantes
Conheça agora os principais subconjuntos existentes. No caso, estamos nos referindo apenas aos que possuem maior destaque.
O primeiro subconjunto dos números inteiros que destacamos é o conjunto dos números naturais. Isso mesmo que você leu. Pois é, todo o conjunto [math] \mathbb {N} [/math] é um subconjunto do conjunto [math] \mathbb {Z} [/math]. Na imagem abaixo, trazemos essa representação usando diagramas de Venn para ficar mais claro.
Os outros principais subconjuntos dos inteiros que merecem destaque são:
Conjuntos dos números inteiros não nulos:
Conjuntos dos números inteiros positivos:
Conjuntos dos números inteiros negativos:
Conjuntos dos números inteiros positivos e não nulos:
Conjuntos dos números inteiros negativos e não nulos:
Para não fazer confusão é importante estar bastante atento a simbologia. Por exemplo, o asterisco representa a ausência do zero. Observe o posicionamento das reticências indicando a direção que se deve seguir quando precisar identificar outros elementos em cada um deles. Além desses, uma infinidade de subconjuntos podem ser representadas por conjuntos finitos, unitários, etc.
Vamos praticar um pouco?
"É capaz quem pensa que é capaz."
Buda
1) O antecessor do simétrico inteiro de [math] –19 [/math] no conjunto dos números inteiros é o número?
2) O valor final da expressão [math] | –17 | + | +12 | – |+11| [/math]
3) Se [math] –101 > –102 [/math] e [math] –215 < – 208 [/math], então [math] –102 < –208 [/math]. Essa afirmativa é falsa ou verdadeira?
4) O subconjunto [math] \{... ,–10, ..., –2, –1, +1, +2, ..., +10, ... \} [/math] pode ser chamado de conjunto dos números inteiros não nulos. Esta afirmativa é verdadeira ou falsa?
5) O simétrico do simétrico de [math] – 1001 [/math] é igual a?
