Adição no conjunto [math] \mathbb {Z}[/math]
A adição de números inteiros inicia o processo das operações matemáticas no conjunto [math] \mathbb {Z} [/math].
Introdução
Carlos e Geovana são um casal que sempre discutem as situações de suas finanças no café da manhã antes de irem ao trabalho.
Numa dessas manhãs, Carlos fez a seguinte pergunta a sua esposa:
"Querida conseguimos receber os pagamentos que estavam em atraso ontem. Recebemos [math] R$ \ 1590,00 [/math] do Sr. Luiz e [math] R$ \ 2070,00 [/math] do Sr. Claudio." Disse Carlos.
"Ah que ótimo! Pena que chegaram dois boletos ontem. Um com uma dívida de [math] R$ \ 1035,00 [/math] e outro constando uma dívida de [math] R$ \ 1770,00 [/math]. Temos que pagar hoje, não tem jeito!" Respondeu Geovana.
O que será que aconteceu? O casal conseguiu pagar as dívidas e ainda sobrou alguma grana pra eles ou o valor que tinham não foi suficiente para quitar os boletos? O que acham?
Bem, com certeza ao final deste estudo, além de ficar sabendo a resposta deste episódio, certamente será capaz de resolver inúmeros problemas parecidos.
Resolver uma adição de números inteiros é uma operação extremamente simples. É de alguma forma, semelhante a adição realizada com números naturais se não fosse por um detalhe: os sinais.
O sinal indicador que determina se um número inteiro é positivo ou negativo as vezes se confunde com sinal operador da adição de números naturais e isto deve estar bem separado.
É necessário estar ainda mais atento para não gerar confusão e obter erros. Estando atento a este detalhe, a operação se torna super simples de resolver.
Interpretando a adição de números inteiros
Vamos começar com a adição de números inteiros utilizando parênteses para diferenciar o sinal do número inteiro do sinal do operador.
Observe atentamente a seguinte expressão:
[math] (+12) + (+ 15) =[/math] ?
Vamos fazer uso de uma interpretação simples para ficar mais fácil de entender o que acontece. Como já mencionado em números inteiros, os sinais positivo e negativo podem representar o saldo de uma conta. Vamos adotar então a partir de agora que o sinal positivo representa um crédito adquirido, enquanto o sinal negativo representará um débito adquirido.
Logo, com esse entendimento, podemos ler a expressão dada da seguinte forma: " eu tenho um valor de [math]12 [/math] e ganhei mais um valor de [math] 15 [/math]. Aqui não foi mencionado reais propositalmente para ficar entendido que a mesma vale para qualquer moeda ou unidade.
Veja bem! Ganhar [math] 12 [/math] se refere a algo positivo. Ganhar [math] 13 [/math] também. O verbo ganhar sempre vai dar a ideia de crédito.
Com isso, fica evidente que os valores da expressão serão somados.
[math] + 12 + 15 = + 27 [/math]
A resposta encontrada foi vinte e sete positivos. Na nossa interpretação podemos dizer que eu aumentei o meu crédito. Agora vamos calcular a expressão abaixo:
[math] (+ 12) + (- 15) =[/math] ?
Bem, observe que agora temos um número inteiro negativo em um dos parênteses. A interpretação agora passa a ser a seguinte: "eu ganhei 12 mas ganhei também uma dívida de 15." Observe o detalhe de cada sinal associado a frase. Olhe para cada número e sinal e mentalize a frase. Ganhar representa mais ou o sinal positivo. Dívida representa o sinal negativo.
Como o objetivo não é ficar com dívidas, vamos realizar a operação. Ainda assim ao final, observe que eu ficarei com uma dívida de 3. A expressão abaixo representa bem essa nova situação.
[math] + 12 - 15 = - 3 [/math]
Possuía um crédito de 12 e uma dívida de 15. Ao quitá-la, continuei ainda com uma dívida de 3.
Um atalho para os cálculos
No tópico anterior ficou claro que na primeira expressão os dois valores de créditos foram juntados.
Na segunda expressão os dois valores, um de crédito e o outro de débito foram diminuídos. A partir daí podemos criar a seguinte regra básica que facilitará bastante nossos cálculos com a adição de números inteiros:
Com sinais iguais, soma-se os valores absolutos e permanece o sinal.
Veja alguns exemplos:
[math] + 100 + 59 = + 159 [/math]
[math] - 100 - 59 = - 159 [/math]
Observe bem a soma dos módulos (valores absolutos) e os sinais sem nenhuma alteração.
E temos mais essa regra básica:
Sinais diferentes, os valores absolutos são subtraídos e permanece o sinal do número de maior valor absoluto.
Veja alguns exemplos:
[math] + 100 - 59 = + 41 [/math]
[math] - 100 + 59 = - 41 [/math]
Observe bem a subtração dos módulos (valores absolutos) e os sinais do maior deles sendo mantido no resultado.
Somando vários números inteiros ao mesmo tempo.
Agora vamos pensar o seguinte. E se tivermos vários números inteiros em uma expressão? Quem sabe até uma dezena deles? Será possível soma-los?
Sim, é possível e para isso vamos fazer uso do atalho que aprendemos agora há pouco.
Seja a expressão:
[math] + 8 - 5 - 7 +10 - 4 + 6 = ? [/math]
Vamos trabalhar com ela sem parênteses mesmo. Como aprendemos, precisamos primeiro juntar todos os inteiros que possuem o mesmo sinal. Então vamos lá!
[math] + 8 + 10 + 6 - 5 - 7 - 4 = ? [/math]
Aplicando a regra e fazendo uso dos cálculos necessários, a expressão passa a ser:
[math] + 24 - 16 = ? [/math]
Efetuando este último cálculo temos:
[math] + 8 [/math]
Concluindo o nosso primeiro problema.
Vamos ver agora como ficou a situação do casal Carlos e Geovana?
Pois bem, vamos recordar e já separar os itens em saldos credor e devedor.
Eles possuem como saldo credor:
[math] + 1590 + 2070 = + 3660 [/math]
Já como saldo devedor a quantia de:
[math] - 1035 - 1770 = - 2805 [/math]
Por fim, somando os dois saldos temos:
[math] +3660 - 2805 = + 555 [/math]
Concluindo, o casal conseguiu pagar as dívidas e ainda sobrou a quantia de [math] R$ \ 555,00 [/math].
Como havia dito, não há dificuldade alguma na adição de números inteiros. Basta seguir as regras direitinho e não terá problemas.
Para aprimorar seus cálculos e aumentar o seu conhecimento, você vai precisar estudar também as propriedades da adição em Z, já que vai se deparar quase que a todo momento com este tipo de adição em seu aprendizado em matemática.
Preparados para praticar?
"Seus sonhos não precisam de plateia, eles só precisam de você."
Daniel Duarte
1) Revisando o que aprendeu sobre a adição de números inteiros, crie uma situação problema para a expressão [math] - 45 + 13 - 29 [/math]
2) O sr. Isaías possui uma conta bancária e no dia 10 tinha um saldo positivo de [math] R$ \ 3578,00 [/math]. No dia 11 precisou efetuar um saque de [math] R$ \ 1923,00 [/math] e no dia seguinte mais um saque de [math] R$ \ 1436,00 [/math]. Quanto de saldo restou na conta bancária do sr. Isaías após o último saque?
3) Marcelo tinha que resolver a seguinte expressão [math] - 7 + 13 + 17 - 25 [/math]. Primeiro ele fez assim: [math] -7 - 25 + 13 + 17 [/math]. Depois ele fez assim: [math] - 32 + 30 [/math]. Qual ou quais propriedades ele aplicou?
4) Calculando a adição de números inteiros [math] (-11) + (+10) + (- 9) + (+ 8) + (- 7) + (+ 6) + (- 5) + (+ 4) + (- 3) + (+ 2) + (- 1) [/math] encontramos:
5) Calcule a expressão [math] (-12) + (-36) + (+29) + (-18) + (+5) [/math]
