Os Números racionais
O que são números racionais?
Em certo domingo de outono, os Nkosi se reuniram para um almoço em família. Os primos Dumisani e Lindani conversavam sobre diversos assuntos quando de repente, Dumisani lembrou que sua filha Kantayeni estava aprendendo sobre os números racionais na escola e sentia bastante dificuldades. Ele lembrou também que Lindani já havia trabalhado como professor de reforço escolar há uns anos e dominava bastante a matemática.
Então perguntou: " Lindani meu caro primo, você poderia por favor me dar uma ajudinha rápida com minha filha Kantayeni em matemática? Ela está com algumas dúvidas em números racionais."
"Claro!" Respondeu Lindani.
"Olha eu confesso que também gostaria de uma revisão desse assunto meu primo". Disse Dumisani. "Nem me lembro da última vez que vi algo sobre o assunto. Preciso me manter atualizado não é mesmo?" Continuou.
"Verdade!" Exclamou Lindani. "Vamos começar então só com você essa revisão imediatamente. Depois falamos com a Kantayeni ok?"
"Sim claro, vamos lá!"
"Bem Dumisani, fazem parte do conjunto dos números racionais, todos os números que podem ser representados na forma de fração, onde o numerador é um número inteiro e o denominador um número inteiro não nulo. Em linguagem matemática esse conjunto fica representado da seguinte forma:
[math] \mathbb {Q} = \{ \frac {a}{b}, onde \ a \in \mathbb {Z} \ e \ b \in \mathbb {Z^*} \} [/math]
"A letra [math] \mathbb {Q} [/math] é usada para representar esse conjunto de números. Ela foi escolhida por ser a inicial da palavra quociente, ou seja o resultado de uma divisão. Uma fração nada mais é que uma divisão de números inteiros."
"Várias são as representações desses números no nosso cotidiano. Podemos utilizá-los para representar frações de diversas unidades de medida como comprimento, capacidade, massa, superfície, volume, tempo, temperatura, etc." Falou Lindani.
"Minha dúvida é a seguinte, então esse conjunto vai ser formado somente por frações? Perguntou, franzindo bem a testa Dumisani.
"Então primo, veja bem, os números decimais exatos e as dízimas periódicas podem ser convertidos para a esta forma fracionária de numerador e denominador inteiros. Em um dado momento a professora da Kantayeni comentou sobre as frações e os números decimais separadamente."
"Isto ocorre justamente para poder ser explicado com calma e profundidade, a escrita, leitura, representações e conversões desses números. Por isso, eles também podem aparecer no conjunto dos racionais sem nenhum problema." Disse Lindani.
"O que ocorre de novo aqui é que, assim como no conjunto dos números inteiros, vamos ter de considerar também os sinais de positivo [math] (+) [/math] e negativo [math] (-) [/math] na frente dos números do conjunto independente da representação. Seja ela fracionária ou decimal!" Completou.
[math]\mathbb {Q} = \{..., -2, -1, -0,555..., \frac {-2}{5}, \frac {-1}{5}, 0, \frac {+1}{5}, \frac {+2}{5}, +0,555..., +1, +2, ...\} [/math]
Será possível ordená-los?
" Agora dúvida que me intriga bastante primo." Iniciou Dumisani. "Como vou conseguir ordenar esses monte de números com vírgulas e frações tudo junto? Isso será possível?" Questionou.
"Todos eles poderão ser ordenados sim dentro do conjunto. A diferença é que aqui realmente precisamos de muito mais atenção mas é bem fácil fazer isso". Respondeu Lindani.
"Para representar geometricamente o conjunto dos números racionais considere primeiro o número zero como o centro da reta da mesma maneira feita com o s números inteiros. Em seguida, todos os números posicionados a direita do zero receberão o sinal positivo e serão chamados de números racionais positivos. Os que ficarem posicionados a esquerda do zero serão chamados de números racionais negativos."
"Para encaixar o número racional no local correto na reta, basta representá-lo na sua forma decimal (caso esteja na forma de fração). Basta dividir numerador por denominador como foi ensinado em divisão de frações, fazer a conversão e identificar o local de posicionamento de acordo primeiro com a parte inteira do número."
"Suponha que seja necessário posicionar a fração [math] \frac {-1}{4} [/math] na reta numerada. Sabemos que por ser negativa, esta fração se encontra a esquerda do zero. correto? Pois bem, em seguida. efetuamos [math] ({-1} \div {4}) [/math].
Fazendo os cálculos necessários, encontramos o valor de [math] -0,25 [/math].
Assim este número será posicionado entre o [math] 0 [/math] e o [math]-1 [/math]. Mais precisamente a esquerda da fração [math] \frac {-1}{5} [/math] pois, efetuando a divisão desta última, obtemos [math] -0,2 [/math].
Veja um rascunho do que estou falando Dumisani."
Valor absoluto ou simétrico
" Agora Dumisani precisamos falar sobre outros assuntos importantes relacionados ao números racionais. Tudo bem pra você continuar agora?" Perguntou Lindani estusiasmado!
"Claro, claro! Eu estou gostando muito desta revisão. Quando olhamos outra vez certo conteúdo depois de um tempo, enxergamos as coisas de outra forma não é mesmo?"
"Pois é meu primo, essa vai ser a missão que a Kantayene vai ter que concluir. Só assim ela vai absorver toda essa quantidade de informações. Mas vamos continuar nossa revisão então."
"Quase todos os elementos desse conjunto possuem um simétrico, ou seja, isso quer dizer que têm sinais opostos. na reta acima é possível ver que se existe o número três oitavos negativos [math] (\frac {-3}{8}) [/math], teremos então em outro na mesma reta o seu oposto que será o número três oitavos positivos [math] (\frac {+ 3} {8}) [/math]. Neste conjunto o zero também é o único número que não possui simétrico."
"Assim como ocorreu com os números inteiros, essa simetria é chamado valor absoluto ou módulo e trata-se da distância entre a origem (zero) e o próprio número. Representa-se o módulo por um valor entre duas barras verticais [math] | | [/math]. Todo número racional terá o valor do seu módulo sempre positivo."
"Exemplos:"
[math] |\frac {-2}{16} | = \frac {2}{16} [/math]
[math] |\frac {+5}{8} | = \frac {5}{8} [/math]
Comparando números racionais
"Filha, estou fazendo uma revisão muito legal com o primo Lindani sobre os números racionais. Amanhã passo tudo pra você." Disse Dumisani.
"Que ótimo papai!" Respondeu a menina. Deixa eu pegar um pedaço dessa torta aqui. Tá parecendo estar deliciosa."
"Já tem dois pedaços cortados aqui filha! Você gostaria do maior ou do menor?"
"Com a fome que estou, só me serve o maior papai!"
"Então primo!" Interrompeu Lindani. "Aproveitando que os dois ai estão falando sobre o maior ou menor pedaço de torta, vamos falar sobre a comparação de números racionais."
"O que pedaço de torta tem a ver com isso primo? Disse Dumisani
"Não tem nada a ver mesmo diretamente mas deixa eu explicar. A imediata consequência da ordenação desse conjunto é poder fazer uso da comparação de seus elementos."
"Lembrando que para fazer isso, basta usar os símbolos [math] > [/math] (maior que) [math] < [/math] (menor que) ou [math] = [/math] (igual a). Primeiro lembre-se que todo número a direita na reta numérica é maior."
"Daí basta utilizar a comparação direta, quando a representação for decimal, fazer uso de conversão das frações para decimais e ai sim depois compará-los, ou ainda, utilizar a comparação direta de frações com denominadores iguais ou diferentes."
"Ou seja, se a comparação vai ser rápida ou demorada, depende somente da forma como os números vão estar representados e do domínio dessas técnicas de resolução. Aconselho dar uma boa revisada nessas técnicas de cálculo antes de comparar números racionais."
"Pode deixar! Amanhã mesmo vou dar uma boa revisada em frações e números decimais com Kantayeni primo." Respondeu Dumisani.
"Faça isso primo, faça isso! Agora estamos chegando ao final desta revisão. Vamos falar rapidamente do último assunto."
Subconjuntos importantes do conjunto [math] \mathbb {Q} [/math]
"Um outro assunto muito importante necesário falar é sobre alguns subconjuntos de [math] \mathbb {Q} [/math]. Os dois principais subconjuntos dos números racionais que precisamos destacar primeiro são, o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números naturais. Sim, isso mesmo. Recordando que o conjunto [math] \mathbb {N} [/math] é um subconjunto do conjunto [math] \mathbb {Z} [/math], temos que ambos são subconjuntos do conjunto [math] \mathbb {Q} [/math]. Mais uma vez, fazemos uso dos diagramas de Venn para esta representação."
"Veja abaixo mais alguns subconjuntos de [math] \mathbb {Q} [/math] que merecem destaque."
Conjuntos dos números inteiros não nulos:
[math]\mathbb {Q*} = \{..., \frac {-2}{5}, -2, \frac {-1}{5}, -1, +1, \frac {-1}{5}, +2, \frac {+2}{5} ,...\} [/math]
Conjuntos dos números racionais positivos:
[math]\mathbb {Q_+} = \{0, +1, \frac {-1}{5}, +2, \frac {+2}{5} ,...\} [/math]
Conjuntos dos números racionais negativos:
[math]\mathbb {Q_-} = \{..., \frac {-2}{5}, -2, \frac {-1}{5}, -1, 0\} [/math]
Conjuntos dos números inteiros positivos e não nulos:
[math]\mathbb {Q ^*_+} = \{ +1, \frac {-1}{5}, +2, \frac {+2}{5} ,...\} [/math]
Conjuntos dos números inteiros negativos e não nulos:
[math]\mathbb {Q ^*_-} = \{..., \frac {-2}{5}, -2, \frac {-1}{5}, -1\} [/math]
"Para não fazer confusão Dumisani é importante estar bastante atento a simbologia. Por exemplo, o asterisco representa a ausência do zero. Observe o posicionamento das reticências indicando a direção que se deve seguir quando precisar identificar outros elementos em cada um deles. Além desses, uma infinidade de subconjuntos podem ser representadas por conjuntos finitos, unitários, etc."
"Então é isso primo, encerramos nossa revisão. Agora é estudo e treino não tem outro jeito."
"Muito obrigado, ajudou bastante Lindani! Ei, Kentayeni! Venha aqui rapidinho para tirar uma foto com o primo pra gente guardar de recordação desse prazeroso almoço."
"Claro papai, já estou indo!" Respondeu Kentayeni de lá toda empolgada para a foto.
Vamos praticar um pouco?
"É capaz quem pensa que é capaz."
